Question

а) Решите уравнение $2\sin^{2}x+\cos(-x)-1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{9\pi}{2};-3\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: свести уравнение к квадратному относительно косинуса, используя основное тригонометрическое тождество и чётность косинуса.

**а)** Упростим левую часть уравнения. Заметим, что $\cos(-x) = \cos x$:

$$2\sin^{2}x+\cos x-1=0$$

Применим тождество $\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x$:

$$2(1-\cos^{2}x)+\cos x-1=0$$

$$2-2\cos^{2}x+\cos x-1=0$$

$$-2\cos^{2}x+\cos x+1=0$$

Умножим на $-1$:

$$2\cos^{2}x-\cos x-1=0$$

Введём замену $t = \cos x$, где $-1 \leq t \leq 1$:

$$2t^{2}-t-1=0$$

Решаем квадратное уравнение. Разложим на множители:

$$(2t+1)(t-1)=0$$

Отсюда $t = -\frac{1}{2}$ или $t = 1$.

**Случай 1:** $\cos x = -\frac{1}{2}$

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $\cos x = 1$

$$x=2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{9\pi}{2};-3\pi\right]$.

Для семейства $x = \frac{2\pi}{3}+2\pi n$:

$$-\frac{9\pi}{2} \leq \frac{2\pi}{3}+2\pi n \leq -3\pi$$

$$-\frac{9\pi}{2}-\frac{2\pi}{3} \leq 2\pi n \leq -3\pi-\frac{2\pi}{3}$$

$$-\frac{31\pi}{6} \leq 2\pi n \leq -\frac{11\pi}{3}$$

$$-\frac{31}{12} \leq n \leq -\frac{11}{6}$$

$$-2{,}58... \leq n \leq -1{,}83$$

Целое значение: $n = -2$, откуда $x = \frac{2\pi}{3}-4\pi = -\frac{10\pi}{3}$.

Для семейства $x = -\frac{2\pi}{3}+2\pi n$:

$$-\frac{9\pi}{2} \leq -\frac{2\pi}{3}+2\pi n \leq -3\pi$$

$$-\frac{9\pi}{2}+\frac{2\pi}{3} \leq 2\pi n \leq -3\pi+\frac{2\pi}{3}$$

$$-\frac{23\pi}{6} \leq 2\pi n \leq -\frac{7\pi}{3}$$

$$-\frac{23}{12} \leq n \leq -\frac{7}{6}$$

$$-1{,}91... \leq n \leq -1{,}16$$

Целое значение: $n = -1$, откуда $x = -\frac{2\pi}{3}-2\pi = -\frac{8\pi}{3}$.

Для семейства $x = 2\pi n$:

$$-\frac{9\pi}{2} \leq 2\pi n \leq -3\pi$$

$$-\frac{9}{4} \leq n \leq -\frac{3}{2}$$

$$-2{,}25 \leq n \leq -1{,}5$$

Целое значение: $n = -2$, откуда $x = -4\pi$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике