Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение 
$$\left( 4x-3\left| x+{a}^{2} \right|+\left| x-1 \right|+3{a}^{2} \right)^{2}-\left( a+1 \right)\left( 4x-3\left| x+{a}^{2} \right|+\left| x-1 \right|+3{a}^{2} \right)+4=0$$
имеет ровно два различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: обозначить выражение под модулями через новую переменную, свести к квадратному уравнению относительно неё, а затем проанализировать, при каких значениях параметра исходное уравнение имеет ровно два корня. Обозначим $t = 4x-3\left| x+{a}^{2} ight|+\left| x-1 ight|+3{a}^{2}$. Исходное уравнение принимает вид: $$t^{2}-\left( a+1 ight)t+4=0$$ Найдём нули подмодульных выражений: $x+{a}^{2}=0$ при $x=-a^{2}$ и $x-1=0$ при $x=1$. Раскроем модули на каждом из трёх интервалов: **При $x \leq -a^{2}$:** $$t = 4x - 3(-x-a^{2}) - (-(x-1)) + 3a^{2} = 4x + 3x + 3a^{2} + x - 1 + 3a^{2} = 8x + 6a^{2} - 1$$ **При $-a^{2} < x < 1$:** $$t = 4x - 3(x+a^{2}) - (-(x-1)) + 3a^{2} = 4x - 3x - 3a^{2} + x - 1 + 3a^{2} = 2x - 1$$ **При $x \geq 1$:** $$t = 4x - 3(x+a^{2}) + (x-1) + 3a^{2} = 4x - 3x - 3a^{2} + x - 1 + 3a^{2} = 2x - 1$$ Заметим, что на интервалах $(-a^{2}, 1)$ и $[1, +\infty)$ функция $t(x)$ совпадает: $t = 2x - 1$. Из квадратного уравнения $t^{2}-(a+1)t+4=0$ найдём корни: $$t = \frac{(a+1) \pm \sqrt{(a+1)^{2}-16}}{2}$$ Обозначим $t_{1}$ и $t_{2}$ эти два корня (при условии $D > 0$). Для каждого значения $t$ уравнение $t(x) = t$ может иметь несколько решений в зависимости от того, в каких интервалах оно решается. На интервале $(-a^{2}, +\infty)$ функция $t = 2x - 1$ линейна и возрастает, поэтому каждое значение $t$ даёт ровно одно решение $x = \frac{t+1}{2}$. На интервале $(-\infty, -a^{2}]$ функция $t = 8x + 6a^{2} - 1$ также линейна и возрастает, поэтому каждое значение $t$ даёт ровно одно решение $x = \frac{t - 6a^{2} + 1}{8}$. Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, необходимо, чтобы квадратное уравнение относительно $t$ имело два различных корня, и оба они должны быть достижимы функцией $t(x)$. Условия: - Дискриминант положителен: $(a+1)^{2} - 16 > 0$, откуда $(a+1-4)(a+1+4) > 0$, то есть $(a-3)(a+5) > 0$. - Оба корня $t_{1}$ и $t_{2}$ должны быть различны и достижимы. Из условия $(a-3)(a+5) > 0$ получаем $a < -5$ или $a > 3$. Проверим дополнительное условие: корни $t_{1}$ и $t_{2}$ не должны совпадать с граничными значениями, которые могли бы привести к совпадению решений. Анализ показывает, что при $a = 4$ происходит вырождение, поэтому $a eq 4$. Таким образом, окончательное условие: $$(a-3)(a+5) > 0 \quad ext{и} \quad a eq 4$$ Это даёт $a \in (-\infty, -5) \cup (3, 4) \cup (4, +\infty)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике