Question

Найдите точку максимума функции $y = (x+8)^{2} \cdot e^{3-x}$.

Accepted Answer

-6

Answer

Идея решения: применить правило произведения для нахождения производной, приравнять её к нулю и определить точку максимума по знакам производной. Вычислим производную, используя правило произведения: $$y' = \left((x+8)^{2}\right)' \cdot e^{3-x} + (x+8)^{2} \cdot \left(e^{3-x}\right)'$$ $$y' = 2(x+8) \cdot e^{3-x} + (x+8)^{2} \cdot e^{3-x} \cdot (-1)$$ $$y' = 2(x+8) \cdot e^{3-x} - (x+8)^{2} \cdot e^{3-x}$$ $$y' = e^{3-x} \cdot \left(2(x+8) - (x+8)^{2}\right)$$ Найдём нули производной: $$e^{3-x} \cdot \left(2(x+8) - (x+8)^{2}\right) = 0$$ Поскольку $e^{3-x} > 0$ для всех $x$, приравняем второй множитель к нулю: $$2(x+8) - (x+8)^{2} = 0$$ Раскроем скобки: $$2x + 16 - x^{2} - 16x - 64 = 0$$ $$-x^{2} - 14x - 48 = 0$$ Умножим на $-1$: $$x^{2} + 14x + 48 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = 14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$$ Корни уравнения: $$x_{1} = \frac{-14 + 2}{2} = -6; \quad x_{2} = \frac{-14 - 2}{2} = -8$$ Исследуем знак производной на интервалах. Множитель $2(x+8) - (x+8)^{2} = (x+8)(2 - x - 8) = (x+8)(-x-6)$ меняет знак в точках $x = -8$ и $x = -6$. - При $x < -8$: оба множителя отрицательны, $y' > 0$. - При $-8 < x < -6$: первый множитель положителен, второй отрицателен, $y' < 0$. - При $x > -6$: оба множителя отрицательны, $y' > 0$. Производная меняет знак с положительного на отрицательный в точке $x = -6$, что указывает на локальный максимум.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике