Question

Решите неравенство:

$$\frac{2}{3^{x}+27}\geq\frac{1}{3^{x}-27}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 3^x$, приведём дроби к общему знаменателю и решим рациональное неравенство методом интервалов. Обозначим $t = 3^x$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$\frac{2}{t+27}\geq\frac{1}{t-27}$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{2}{t+27}-\frac{1}{t-27}\geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{2(t-27)-(t+27)}{(t+27)(t-27)}\geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t-54-t-27}{(t+27)(t-27)}\geq 0$$ $$\frac{t-81}{(t+27)(t-27)}\geq 0$$ Найдём нули числителя и знаменателя: $t = 81$, $t = -27$, $t = 27$. Применим метод интервалов. Знаменатель не обращается в нуль при $t = -27$ и $t = 27$, числитель обращается в нуль при $t = 81$ (включаем в решение). Решение рационального неравенства: $$t \in (-27; 27) \cup [81; +\infty)$$ Вернёмся к переменной $x$. Учтём, что $t = 3^x > 0$, поэтому условие $t > -27$ выполнено автоматически. Из $t < 27$: $$3^x < 27 = 3^3 \implies x < 3$$ Из $t \geq 81$: $$3^x \geq 81 = 3^4 \implies x \geq 4$$ Объединяя оба условия: $$x \in (-\infty; 3) \cup [4; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике