Question

а) Решите уравнение $2\cos(x) - \sqrt{3}\sin^2(x) = 2\cos^3(x)$.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: заменить $\sin^2(x)$ через $\cos^2(x)$, привести к общему множителю и разложить на два простых уравнения.

**а) Решение уравнения**

Используя тождество $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$, переписываем исходное уравнение:

$$2\cos(x) - \sqrt{3}(1 - \cos^2(x)) = 2\cos^3(x)$$

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

$$2\cos(x) - \sqrt{3} + \sqrt{3}\cos^2(x) - 2\cos^3(x) = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2\cos(x)(1 - \cos^2(x)) - \sqrt{3}(1 - \cos^2(x)) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(2\cos(x) - \sqrt{3})(1 - \cos^2(x)) = 0$$

Получаем два случая:

$$2\cos(x) - \sqrt{3} = 0 \quad 	ext{или} \quad 1 - \cos^2(x) = 0$$

Из первого уравнения: $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения: $\cos^2(x) = 1$, то есть $\cos(x) = \pm 1$, откуда $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

**б) Отбор корней на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\piight]$**

Для семейства $x = \pi n$:

$$-\frac{7\pi}{2} \leq \pi n \leq -2\pi$$

Разделим на $\pi$:

$$-3{,}5 \leq n \leq -2$$

Целые значения: $n = -3$ и $n = -2$.

Получаем: $x_1 = -3\pi$ и $x_2 = -2\pi$.

Для семейства $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$:

$$-\frac{7\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq -2\pi$$

Разделим на $\pi$:

$$-3{,}5 \leq \frac{1}{6} + 2k \leq -2$$

$$-\frac{11}{3} \leq 2k \leq -\frac{13}{6}$$

$$-\frac{11}{6} \leq k \leq -\frac{13}{12}$$

Целых значений $k$ в этом диапазоне нет.

Для семейства $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$:

$$-\frac{7\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq -2\pi$$

Разделим на $\pi$:

$$-3{,}5 \leq -\frac{1}{6} + 2k \leq -2$$

$$-\frac{5}{3} \leq 2k \leq -\frac{11}{6}$$

$$-\frac{5}{6} \leq k \leq -\frac{11}{12}$$

Целых значений $k$ в этом диапазоне нет.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике