Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \left( x^{2}-5x-y+3 ight)\cdot\sqrt{x-y+3}=0 \ y=ax+a \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить первое уравнение на два случая (парабола или прямая), найти их пересечения с линией $y = a(x+1)$ и определить значения $a$, при которых всего ровно два решения.

Первое уравнение произведение равно нулю, когда либо множитель равен нулю, либо подкоренное выражение обращается в ноль. Получаем совокупность:

$$\left[ \begin{array}{c} y = x^{2}-5x+3 \ y = x+3 \end{array} ight.$$

Второе уравнение системы переписывается как $y = a(x+1)$, то есть прямая, проходящая через точку $(−1; 0)$.

**Анализ пересечений с параболой** $y = x^{2}-5x+3$:

Приравняем $a(x+1) = x^{2}-5x+3$:

$$x^{2}-(5+a)x+(3-a) = 0$$

Дискриминант: $D = (5+a)^{2}-4(3-a) = a^{2}+14a+13$.

Для касания (одно решение): $a^{2}+14a+13 = 0$, откуда $a = -1$ или $a = -13$.

При $a = -1$ прямая $y = -(x+1) = -x-1$ касается параболы.

**Анализ пересечений с прямой** $y = x+3$:

Приравняем $a(x+1) = x+3$:

$$(a-1)x = 3-a$$

Если $a = 1$, прямые параллельны (нет пересечений).

Если $a 
eq 1$, получаем одно пересечение в точке $x = \frac{3-a}{a-1}$.

**Поиск точек пересечения параболы и прямой** $y = x+3$:

$$x+3 = x^{2}-5x+3$$
$$x^{2}-6x = 0$$
$$x = 0 	ext{ или } x = 6$$

Точки: $(0; 3)$ и $(6; 9)$.

**Подсчёт решений для разных значений** $a$:

1. При $a = -1$: парабола даёт 1 решение (касание), прямая $y = -x-1$ пересекает $y = x+3$ в одной точке. Итого: 2 решения. ✓

2. При $a = 1$: парабола пересекает $y = a(x+1) = x+1$ в двух точках, прямая $y = x+3$ параллельна $y = x+1$ (нет пересечений). Итого: 2 решения. ✓

3. При $a = \frac{9}{7}$: прямая $y = \frac{9}{7}(x+1)$ проходит через $(6; 9)$ (точку пересечения параболы и $y = x+3$). Парабола даёт 2 решения, прямая $y = x+3$ даёт 1 решение (в точке $(6; 9)$, уже учтённое). Итого: 2 решения. ✓

4. При $a = 3$: прямая $y = 3(x+1)$ проходит через $(0; 3)$. Парабола даёт 2 решения, прямая $y = x+3$ даёт 1 решение (в точке $(0; 3)$, уже учтённое). Итого: 2 решения. ✓

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике