Question

Найдите точку максимума функции $y = 8\ln(x+7) - 8x + 3$.

Accepted Answer

-6

Answer

Идея решения: найти критическую точку через производную и проверить её характер по знакам производной.

Область определения: $x + 7 > 0$, откуда $x \in (-7; +\infty)$.

Вычислим производную:

$$y' = \frac{8}{x+7} - 8$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{8}{x+7} - 8 = 0$$

$$\frac{8}{x+7} = 8$$

$$8 = 8(x+7)$$

$$1 = x + 7$$

$$x = -6$$

Проверим знак производной слева и справа от точки $x = -6$:

- При $x \in (-7; -6)$: выберем $x = -6{,}5$, тогда $y' = \frac{8}{0{,}5} - 8 = 16 - 8 = 8 > 0$ (функция возрастает).
- При $x \in (-6; +\infty)$: выберем $x = 0$, тогда $y' = \frac{8}{7} - 8 < 0$ (функция убывает).

Производная меняет знак с положительного на отрицательный, поэтому $x = -6$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике