Question

Тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 192$ Гц. Позже подъезжающий к платформе тепловоз издал второй гудок. Вследствие эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) превышает первую и определяется формулой:

$$f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}$$

где $v$ — скорость тепловоза (в м/с), $c$ — скорость звука (в м/с).

Человек на платформе различает гудки по тону, если их частоты отличаются не менее чем на 8 Гц. Найдите минимальную скорость приближения тепловоза к платформе, при которой человек смог различить оба сигнала. Используйте $c = 300$ м/с. Ответ выразите в м/с.

Accepted Answer

12

Answer

Идея решения: найти минимальную скорость, при которой разность частот достигает порога различимости.

Условие различимости гудков выражается неравенством:

$$f(v) - f_0 \geq 8$$

Подставим формулу для $f(v)$:

$$\frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} - f_0 \geq 8$$

Вынесем $f_0$ за скобки:

$$f_0 \left( \frac{1}{1 - \frac{v}{c}} - 1 \right) \geq 8$$

Упростим выражение в скобках:

$$\frac{1}{1 - \frac{v}{c}} - 1 = \frac{1 - (1 - \frac{v}{c})}{1 - \frac{v}{c}} = \frac{\frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}$$

Получаем:

$$f_0 \cdot \frac{\frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}} \geq 8$$

Подставим $f_0 = 192$ и $c = 300$:

$$192 \cdot \frac{\frac{v}{300}}{1 - \frac{v}{300}} \geq 8$$

Разделим обе части на 192:

$$\frac{\frac{v}{300}}{1 - \frac{v}{300}} \geq \frac{8}{192} = \frac{1}{24}$$

Обозначим $\frac{v}{300} = x$, где $0 \leq x < 1$:

$$\frac{x}{1 - x} \geq \frac{1}{24}$$

Умножим обе части на $(1 - x) > 0$:

$$x \geq \frac{1 - x}{24}$$

$$24x \geq 1 - x$$

$$25x \geq 1$$

$$x \geq \frac{1}{25}$$

Вернёмся к переменной $v$:

$$\frac{v}{300} \geq \frac{1}{25}$$

$$v \geq \frac{300}{25} = 12$$

Минимальная скорость, при которой человек различает гудки, равна 12 м/с.

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике