Question

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R = 8$. Известно, что $AB = BC = CD = 12$.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

б) Найдите $AD$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать равенство хорд для доказательства параллельности, затем применить теорему синусов и косинусов для вычисления неизвестной стороны.

**а) Доказательство параллельности**

Треугольники $ABC$ и $ACD$ вписаны в одну окружность. На равные хорды $AB$ и $CD$ опираются равные вписанные углы:

$$\angle ACB = \angle CAD$$

Эти углы — накрест лежащие при пересечении прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$. Следовательно, $BC \parallel AD$.

**б) Вычисление $AD$**

Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$:

$$\frac{AB}{\sin \angle BCA} = 2R$$

$$\sin \angle BCA = \frac{AB}{2R} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$$

Найдём косинус этого угла:

$$\cos \angle BCA = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BCA} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

По теореме косинусов в треугольнике $ABC$:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle BCA$$

$$144 = AC^2 + 144 - 2 \cdot AC \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$

$$AC^2 - 6\sqrt{7} \cdot AC = 0$$

$$AC(AC - 6\sqrt{7}) = 0$$

Так как $AC 
eq 0$, получаем $AC = 6\sqrt{7}$.

Поскольку $\angle BCA = \angle CAD$, применим теорему косинусов к треугольнику $ACD$:

$$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos \angle CAD$$

$$144 = 252 + AD^2 - 2 \cdot 6\sqrt{7} \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$

$$144 = 252 + AD^2 - 21 \cdot AD$$

$$AD^2 - 21 \cdot AD + 108 = 0$$

По теореме Виета: $AD = 12$ или $AD = 9$.

Значение $AD = 12$ не подходит (это привело бы к противоречию с геометрией конфигурации). Следовательно, $AD = 9$.

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/7h7vtvFmQojot57WUi19YJdTuNTeGZvDghhNmPwM.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике