Question

а) Решите уравнение $\sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+2\sin^{2}x=\sin x+2$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\frac{7\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскроем синус суммы, упростим уравнение до произведения и найдём два семейства решений. **а) Решение уравнения** Раскроем синус суммы по формуле $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}$: $$\sqrt{2}\left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\sin^{2}x = \sin x + 2$$ Упростим левую часть: $$\sin x + \cos x + 2\sin^{2}x = \sin x + 2$$ Сократим $\sin x$ и перенесём всё в левую часть: $$\cos x + 2\sin^{2}x - 2 = 0$$ Заменим $\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x$: $$\cos x + 2(1 - \cos^{2}x) - 2 = 0$$ $$\cos x + 2 - 2\cos^{2}x - 2 = 0$$ $$2\cos^{2}x - \cos x = 0$$ Вынесем общий множитель: $$\cos x(2\cos x - 1) = 0$$ Отсюда получаем два случая: **Случай 1:** $\cos x = 0$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Случай 2:** $\cos x = \frac{1}{2}$ $$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **б) Отбор корней на отрезке $\left[ 2\pi;\frac{7\pi}{2} \right]$** Для семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: - При $k = 4$: $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} > \frac{7\pi}{2}$ — не подходит. - При $k = 3$: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$ — подходит. Для семейства $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$ — подходит (так как $2\pi < \frac{7\pi}{3} < \frac{7\pi}{2}$). Для семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ — не подходит. - При $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} > \frac{7\pi}{2}$ — не подходит.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике