Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} x^4 - y^4 = 12a - 28 \ x^2 + y^2 = a \end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить разность четвёртых степеней, подставить второе уравнение в первое и найти условия на $a$, при которых каждая из переменных принимает ровно два значения.

Из второго уравнения видим, что $a > 0$, поскольку $x^2 + y^2 \geq 0$, и при $a = 0$ система имеет только одно решение $(0, 0)$.

Разложим левую часть первого уравнения:

$$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 12a - 28$$

Подставим $x^2 + y^2 = a$:

$$(x^2 - y^2) \cdot a = 12a - 28$$

$$x^2 - y^2 = 12 - \frac{28}{a}$$

Объединим это с условием $x^2 + y^2 = a$:

$$\begin{cases} x^2 - y^2 = 12 - \dfrac{28}{a} \ x^2 + y^2 = a \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x^2 = a + 12 - \frac{28}{a}$$

Вычтем первое из второго:

$$2y^2 = a - 12 + \frac{28}{a}$$

Для четырёх различных решений необходимо, чтобы оба выражения были положительны:

$$\begin{cases} a > 0 \ a + 12 - \dfrac{28}{a} > 0 \ a - 12 + \dfrac{28}{a} > 0 \end{cases}$$

Умножим неравенства на $a > 0$:

$$\begin{cases} a^2 + 12a - 28 > 0 & (1) \ a^2 - 12a + 28 > 0 & (2) \end{cases}$$

Решим неравенство $(1)$: $a^2 + 12a - 28 = 0$ имеет корни $a = -14$ и $a = 2$.

Поскольку коэффициент при $a^2$ положителен:

$$a \in (-\infty; -14) \cup (2; +\infty)$$

С учётом $a > 0$ получаем $a \in (2; +\infty)$.

Решим неравенство $(2)$: $a^2 - 12a + 28 = 0$.

$$D = 144 - 112 = 32$$

$$a_1 = \frac{12 + 4\sqrt{2}}{2} = 6 + 2\sqrt{2}, \quad a_2 = \frac{12 - 4\sqrt{2}}{2} = 6 - 2\sqrt{2}$$

Поскольку коэффициент при $a^2$ положителен:

$$a \in (-\infty; 6 - 2\sqrt{2}) \cup (6 + 2\sqrt{2}; +\infty)$$

Пересечение условий $(1)$, $(2)$ и $a > 0$:

$$(2; +\infty) \cap [(-\infty; 6 - 2\sqrt{2}) \cup (6 + 2\sqrt{2}; +\infty)]$$

Поскольку $6 - 2\sqrt{2} \approx 3{,}17 > 2$ и $6 + 2\sqrt{2} \approx 8{,}83$:

$$a \in (2; 6 - 2\sqrt{2}) \cup (6 + 2\sqrt{2}; +\infty)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике