Question

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB = 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_1$.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна 6.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить сечение, сравнить два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой и использовать равенство их катетов.

**а) Доказательство**

Соединим точки $A_1$, $B$ и $M$. Получаем сечение $A_1MB$.

Рассмотрим треугольники $A_1C_1M$ и $BCM$:
- $C_1M = MC$ (так как $M$ — середина $CC_1$);
- $A_1C_1 = BC$ (рёбра правильной призмы равны сторонам основания).

Оба треугольника прямоугольные (углы при $C_1$ и $C$ соответственно). По двум катетам получаем $	riangle A_1C_1M = 	riangle BCM$.

Следовательно, $A_1M = BM$, и треугольник $A_1MB$ равнобедренный.

**б) Нахождение высоты**

Обозначим $MC = x$, тогда $C_1C = 2x$ (высота призмы).

По теореме Пифагора в $	riangle BCM$:
$$BM^2 = BC^2 + MC^2 = 4 + x^2$$

По теореме Пифагора в $	riangle AA_1B$:
$$A_1B^2 = AA_1^2 + AB^2 = 4x^2 + 4$$

Проведём высоту $MH$ из вершины $M$ к основанию $A_1B$ в равнобедренном треугольнике. Точка $H$ — середина $A_1B$, поэтому:
$$HB = \frac{1}{2}A_1B = \frac{\sqrt{4x^2 + 4}}{2} = \sqrt{x^2 + 1}$$

По теореме Пифагора в $	riangle HMB$:
$$MH^2 = MB^2 - HB^2 = (4 + x^2) - (x^2 + 1) = 3$$
$$MH = \sqrt{3}$$

Площадь сечения:
$$S_{A_1MB} = \frac{1}{2}A_1B \cdot MH = 6$$
$$\frac{1}{2}A_1B \cdot \sqrt{3} = 6$$
$$A_1B = 4\sqrt{3}$$

Подставим в уравнение $A_1B^2 = 4x^2 + 4$:
$$48 = 4x^2 + 4$$
$$4x^2 = 44$$
$$x^2 = 11$$

Высота призмы:
$$AA_1 = 2x = 2\sqrt{11}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/2nyKP2jcDP5TogditEiEaDRzTPB405GqfWBHAMok.jpg)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике