Question

Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение

$$25^{x}-(a+6)5^{x}=(5+3|a|)5^{x}+(a+6)(3|a|+5)$$

имеет единственное решение.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: перенести все слагаемые в левую часть, сделать замену $t = 5^x$ и свести задачу к анализу корней квадратного уравнения.

Перенесём все члены в левую часть:

$$25^{x}-(a+6)5^{x}-(5+3|a|)5^{x}-(a+6)(3|a|+5)=0$$

Сгруппируем слагаемые с $5^x$:

$$25^{x}-5^{x}[(a+6)+(5+3|a|)]-(a+6)(3|a|+5)=0$$

$$25^{x}-5^{x}(a+6+5+3|a|)-(a+6)(3|a|+5)=0$$

Обозначим $t = 5^x$, где $t > 0$. Тогда $25^x = t^2$:

$$t^{2}-(a+6)(5+3|a|)t+(a+6)(3|a|+5)=0$$

По теореме Виета корни этого квадратного уравнения равны:

$$t_{1}=a+6, \quad t_{2}=3|a|+5$$

Проверим, при каких значениях $a$ каждый корень положителен.

Для $t_1 = a+6$: требуется $a+6 > 0$, откуда $a > -6$.

Для $t_2 = 3|a|+5$: поскольку $|a| \geq 0$, имеем $3|a|+5 \geq 5 > 0$ для всех $a \in \mathbb{R}$.

Исходное уравнение имеет единственное решение в следующих случаях:

**Случай 1:** Только один из корней положителен.

Это происходит при $a \leq -6$, когда $t_1 \leq 0$, а $t_2 > 0$. Тогда единственный положительный корень $t_2 = 3|a|+5$ даёт единственное значение $x = \log_5(3|a|+5)$.

**Случай 2:** Оба корня положительны, но совпадают.

Приравняем корни:

$$3|a|+5=a+6$$

$$3|a|-a=1$$

Рассмотрим два подслучая:

При $a \geq 0$: $3a - a = 1 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.

При $a < 0$: $-3a - a = 1 \Rightarrow -4a = 1 \Rightarrow a = -\frac{1}{4}$.

Проверим, что оба значения удовлетворяют условию $a > -6$:
- $a = \frac{1}{2} > -6$ ✓
- $a = -\frac{1}{4} > -6$ ✓

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при $a \in (-\infty, -6] \cup \{-\frac{1}{4}\} \cup \{\frac{1}{2}\}$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике