Question

В ромбе $ABCD$ точки $K$ и $L$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Прямые $AK$ и $AL$ пересекают диагональ $BD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что $S_{APQ} = S_{BKP} + S_{DLQ}$.

б) Известно, что в пятиугольник $CKPQL$ можно вписать окружность. Найдите её радиус, если сторона ромба $ABCD$ равна $6\sqrt{5}$.

Accepted Answer

Answer

**а) Доказательство**

Идея решения: установить, что диагональ $BD$ делится точками $P$ и $Q$ в одинаковых отношениях, затем выразить площади через части диагонали.

Поскольку $ABCD$ — ромб, его диагонали перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам.

В треугольнике $ADC$ точка $Q$ лежит на медиане $AL$ (так как $L$ — середина $CD$) и на диагонали $BD$. Аналогично в треугольнике $ABC$ точка $P$ лежит на медиане $AK$ (так как $K$ — середина $BC$) и на диагонали $BD$.

Поскольку $BO = OD$ и медианы в треугольниках делят друг друга в отношении $2:1$ от вершины, имеем:

$$\frac{BP}{PO} = \frac{2}{1}, \quad \frac{DQ}{QO} = \frac{2}{1}$$

Обозначим $QO = x$. Тогда $BP = PQ = QD = 2x$ и $OP = x$.

Диагональ $BD$ разбивает ромб на два равных треугольника: $S_{ABD} = S_{BDC} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$.

Треугольники $ABP$, $APQ$ и $AQD$ имеют общую вершину $A$ и основания на одной прямой $BD$, поэтому их площади пропорциональны длинам оснований:

$$S_{ABP} = \frac{BP}{BD} \cdot S_{ABD} = \frac{2x}{6x} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}S_{ABCD}$$

$$S_{APQ} = \frac{PQ}{BD} \cdot S_{ABD} = \frac{2x}{6x} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}S_{ABCD}$$

$$S_{AQD} = \frac{QD}{BD} \cdot S_{ABD} = \frac{2x}{6x} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}S_{ABCD}$$

Поскольку $P$ — точка пересечения медиан в треугольнике $ABC$, выполняется $\frac{KP}{AP} = \frac{1}{2}$. Аналогично для $Q$ в треугольнике $ADC$: $\frac{LQ}{AQ} = \frac{1}{2}$.

Треугольники $ABP$ и $BKP$ имеют общую высоту из вершины $B$, поэтому:

$$S_{BKP} = \frac{KP}{AP} \cdot S_{ABP} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}S_{ABCD} = \frac{1}{12}S_{ABCD}$$

Аналогично треугольники $AQD$ и $DLQ$ имеют общую высоту из вершины $D$:

$$S_{DLQ} = \frac{LQ}{AQ} \cdot S_{AQD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}S_{ABCD} = \frac{1}{12}S_{ABCD}$$

Следовательно:

$$S_{BKP} + S_{DLQ} = \frac{1}{12}S_{ABCD} + \frac{1}{12}S_{ABCD} = \frac{1}{6}S_{ABCD} = S_{APQ}$$

Что и требовалось доказать.

**б) Нахождение радиуса**

Идея решения: использовать свойство вписанной окружности в четырёхугольник и связь между площадью, периметром и радиусом.

По условию в пятиугольник $CKPQL$ вписана окружность. Это означает, что та же окружность вписана в треугольник $BDC$, поскольку точки $B$ и $D$ лежат на продолжениях сторон пятиугольника.

По свойству касательных к окружности из внешней точки:

$$PK + CD = PD + KC$$

Из пункта а) известно, что $BP = 2x$, $PQ = 2x$, $QD = 2x$, поэтому $PD = PQ + QD = 4x$.

Так как $K$ — середина $BC$, имеем $KC = 3\sqrt{5}$.

$$PK = PD + KC - CD = 4x + 3\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 4x - 3\sqrt{5}$$

В треугольнике $DOC$ (где диагонали ромба перпендикулярны) по теореме Пифагора:

$$OC^2 = DC^2 - OD^2 = (6\sqrt{5})^2 - (3x)^2 = 180 - 9x^2$$

$$OC = \sqrt{180 - 9x^2}$$

В треугольнике $APO$:

$$AP^2 = AO^2 + PO^2 = (180 - 9x^2) + x^2 = 180 - 8x^2$$

$$AP = \sqrt{180 - 8x^2}$$

Из соотношения $\frac{AP}{PK} = \frac{2}{1}$ получаем $PK = \frac{1}{2}AP$:

$$4x - 3\sqrt{5} = \frac{1}{2}\sqrt{180 - 8x^2}$$

$$8x - 6\sqrt{5} = \sqrt{180 - 8x^2}$$

Возведём в квадрат:

$$64x^2 - 96\sqrt{5}x + 180 = 180 - 8x^2$$

$$72x^2 = 96\sqrt{5}x$$

$$3x = 4\sqrt{5}$$

$$x = \frac{4\sqrt{5}}{3}$$

Вычислим $OC$:

$$OC = \sqrt{180 - 9 \cdot \frac{80}{9}} = \sqrt{180 - 80} = \sqrt{100} = 10$$

Диагональ $BD = 6x = 8\sqrt{5}$.

Площадь треугольника $BDC$:

$$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8\sqrt{5} = 40\sqrt{5}$$

Периметр треугольника $BDC$:

$$P_{BDC} = BC + CD + BD = 6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} + 8\sqrt{5} = 20\sqrt{5}$$

Полупериметр:

$$p = 10\sqrt{5}$$

Радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{S_{BDC}}{p} = \frac{40\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} = 4$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике