Question

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1, 2, \ldots$). В конце любого года фонд может продать бумаги и положить средства на банковский счёт, где сумма ежегодно увеличивается на 10%. В конце какого года следует продать ценные бумаги, чтобы к концу двадцать пятого года накопленная сумма была максимальной?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: сравнить темп роста стоимости ценных бумаг с банковским процентом и найти момент, когда бумаги перестают расти быстрее депозита. Обозначим через $f(t)$ процентный прирост стоимости бумаг от года $t$ к году $t+1$: $$f(t) = \frac{(t+1)^2 - t^2}{t^2} \cdot 100\% = \frac{2t + 1}{t^2} \cdot 100\%$$ Раскроем дробь: $$f(t) = \left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}\right) \cdot 100\%$$ Поскольку $t$ — натуральное число, функция $f(t)$ убывает. Фонду выгодно держать бумаги, пока их прирост превышает 10%, и продать их, когда прирост упадёт ниже 10%. Найдём, при каком $t$ выполняется условие $f(t) < 10\%$: $$\frac{2t + 1}{t^2} \cdot 100 < 10$$ $$\frac{2t + 1}{t^2} < 0{,}1$$ $$2t + 1 < 0{,}1t^2$$ $$t^2 - 20t - 10 > 0$$ Решим квадратное уравнение $t^2 - 20t - 10 = 0$: $$D = 400 + 40 = 440$$ $$t_1 = \frac{20 + \sqrt{440}}{2} = \frac{20 + 2\sqrt{110}}{2} = 10 + \sqrt{110}$$ $$t_2 = \frac{20 - \sqrt{440}}{2} = 10 - \sqrt{110}$$ Парабола положительна при $t > 10 + \sqrt{110}$ (так как $t > 0$). Оценим $\sqrt{110}$: $10^2 = 100 < 110 < 121 = 11^2$, поэтому $10 < \sqrt{110} < 11$. Следовательно, $20 < 10 + \sqrt{110} < 21$. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству, — это $t = 21$.

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике