Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \log_{3}(16 - y^{2}) = \log_{3}(16 - a^{2}x^{2}) \ x^{2} + y^{2} = 8x + 4y \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: из первого уравнения выразить связь между $x$ и $y$, подставить во второе, получить окружность, и найти значения параметра, при которых прямые $y = ax$ и $y = -ax$ пересекают окружность ровно в двух точках.

Из первого уравнения при условии $16 - y^{2} > 0$ (то есть $-4 < y < 4$) получаем:

$$16 - y^{2} = 16 - a^{2}x^{2}$$

$$y^{2} = a^{2}x^{2}$$

$$y = ax 	ext{ или } y = -ax$$

Преобразуем второе уравнение:

$$x^{2} - 8x + y^{2} - 4y = 0$$

$$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} - 4y + 4 = 20$$

$$(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 20$$

Это окружность с центром $(4, 2)$ и радиусом $2\sqrt{5}$.

Система имеет ровно два решения, когда одна из прямых $y = ax$ или $y = -ax$ пересекает окружность в двух точках, а вторая не пересекает (или касается).

**Случай 1:** Прямая $y = ax$ проходит через две точки окружности.

Подставим в уравнение окружности:

$$(x - 4)^{2} + (ax - 2)^{2} = 20$$

$$x^{2} - 8x + 16 + a^{2}x^{2} - 4ax + 4 = 20$$

$$(1 + a^{2})x^{2} - (8 + 4a)x = 0$$

$$x[(1 + a^{2})x - (8 + 4a)] = 0$$

Решения: $x = 0$ и $x = \frac{8 + 4a}{1 + a^{2}}$.

При $x = 0$ получаем $y = 0$. Проверим, лежит ли точка $(0, 0)$ на окружности:

$$(0 - 4)^{2} + (0 - 2)^{2} = 16 + 4 = 20$$ ✓

При $x = \frac{8 + 4a}{1 + a^{2}}$ получаем вторую точку пересечения.

Для того чтобы прямая $y = -ax$ не пересекала окружность, расстояние от центра $(4, 2)$ до этой прямой должно быть больше радиуса.

Расстояние от точки $(4, 2)$ до прямой $ax + y = 0$:

$$d = \frac{|4a + 2|}{\sqrt{a^{2} + 1}}$$

Условие касания: $\frac{|4a + 2|}{\sqrt{a^{2} + 1}} = 2\sqrt{5}$.

$$|4a + 2| = 2\sqrt{5(a^{2} + 1)}$$

$$(4a + 2)^{2} = 20(a^{2} + 1)$$

$$16a^{2} + 16a + 4 = 20a^{2} + 20$$

$$-4a^{2} + 16a - 16 = 0$$

$$a^{2} - 4a + 4 = 0$$

$$(a - 2)^{2} = 0$$

$$a = 2$$

Аналогично, для прямой $y = ax$ касающейся окружности:

$$\frac{|4a - 2|}{\sqrt{a^{2} + 1}} = 2\sqrt{5}$$

$$(4a - 2)^{2} = 20(a^{2} + 1)$$

$$16a^{2} - 16a + 4 = 20a^{2} + 20$$

$$-4a^{2} - 16a - 16 = 0$$

$$a^{2} + 4a + 4 = 0$$

$$(a + 2)^{2} = 0$$

$$a = -2$$

**Случай 2:** Обе прямые совпадают с осью абсцисс ($a = 0$).

При $a = 0$ имеем $y = 0$. Подставляя в уравнение окружности:

$$(x - 4)^{2} + 4 = 20$$

$$(x - 4)^{2} = 16$$

$$x = 0 	ext{ или } x = 8$$

Получаем два решения: $(0, 0)$ и $(8, 0)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике