Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_{8}x}{\log_{8}\left(\frac{x}{64}\right)} \geq \frac{2}{\log_{8}x} + \frac{3}{\log_{8}^{2}x - \log_{8}x^{2}}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить логарифмические свойства, ввести замену переменной и решить рациональное неравенство методом интервалов. Упростим левую часть, используя свойства логарифма: $$\log_{8}\left(\frac{x}{64}\right) = \log_{8}x - \log_{8}64 = \log_{8}x - 2$$ Упростим знаменатель третьего слагаемого: $$\log_{8}^{2}x - \log_{8}x^{2} = \log_{8}^{2}x - 2\log_{8}x$$ Исходное неравенство принимает вид: $$\frac{\log_{8}x}{\log_{8}x - 2} \geq \frac{2}{\log_{8}x} + \frac{3}{\log_{8}^{2}x - 2\log_{8}x}$$ Область определения: $x > 0$. Введём замену $t = \log_{8}x$: $$\frac{t}{t-2} \geq \frac{2}{t} + \frac{3}{t^{2}-2t}$$ Перенесём все в левую часть: $$\frac{t}{t-2} - \frac{2}{t} - \frac{3}{t(t-2)} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю $t(t-2)$: $$\frac{t^{2} - 2(t-2) - 3}{t(t-2)} \geq 0$$ $$\frac{t^{2} - 2t + 4 - 3}{t(t-2)} \geq 0$$ $$\frac{t^{2} - 2t + 1}{t(t-2)} \geq 0$$ $$\frac{(t-1)^{2}}{t(t-2)} \geq 0$$ Решим методом интервалов. Нули числителя: $t = 1$ (кратность 2). Нули знаменателя: $t = 0$, $t = 2$. На числовой оси отмечаем точки $0$, $1$, $2$. Анализируя знаки на каждом интервале: - при $t < 0$: выражение положительно; - при $0 < t < 1$: выражение положительно; - при $t = 1$: выражение равно нулю; - при $1 < t < 2$: выражение положительно; - при $t > 2$: выражение положительно. Решение неравенства: $t \in (-\infty; 0) \cup [1; 2) \cup (2; +\infty)$. Вернёмся к переменной $x$: $$\log_{8}x < 0 \quad \Rightarrow \quad x < 1$$ $$\log_{8}x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 8$$ $$\log_{8}x > 2 \quad \Rightarrow \quad x > 64$$ С учётом ограничения $x > 0$ получаем: $$x \in (0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике