Question

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.

а) Докажите, что $AC = CE$.

б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать равенство хорд для установления параллельности сторон, что приводит к образованию равнобедренных трапеций и параллелограмма.

**а) Доказательство равенства $AC = CE$**

В четырёхугольнике $ABCD$ углы $\angle ACB$ и $\angle CAD$ — вписанные углы, опирающиеся на равные хорды $AB$ и $CD$ соответственно. Поскольку равные хорды стягивают равные углы, имеем:

$$\angle ACB = \angle CAD$$

Это означает, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны (накрест лежащие углы равны).

Аналогично, углы $\angle ACD$ и $\angle CEB$ опираются на равные хорды $CD$ и $AB$, откуда следует параллельность прямых $CD$ и $BE$.

Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — равнобедренная трапеция с параллельными сторонами $BC \parallel AD$. В равнобедренной трапеции диагонали равны:

$$AC = BD$$

Аналогично, четырёхугольник $BCDE$ — равнобедренная трапеция с параллельными сторонами $CD \parallel BE$, откуда:

$$BD = CE$$

Следовательно, $AC = CE$.

**б) Нахождение длины диагонали $BE$**

Обозначим точку пересечения диагоналей $AD$ и $BE$ через $M$.

Поскольку $BC \parallel AD$ и $CD \parallel BE$, четырёхугольник $BCDM$ имеет противоположные стороны параллельными, то есть является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны:

$$BM = CD = 3, \quad DM = BC = 4$$

Треугольники $ABM$ и $MDE$ равнобедренные. В треугольнике $ABM$: $AB = BM = 3$, поэтому $\angle BAM = \angle BMA$. В треугольнике $MDE$: $DE = ME$ (из равнобедренности), и $\angle DME = \angle DEM$.

Углы $\angle BMA$ и $\angle DME$ — вертикальные, следовательно, $\angle BMA = \angle DME$. Таким образом:

$$\angle BAM = \angle BMA = \angle DME = \angle DEM$$

Треугольники $ABM$ и $MDE$ подобны с коэффициентом подобия:

$$k = \frac{DE}{AB} = \frac{4}{3}$$

Из условия $AD = 6$ и $DM = 4$ получаем:

$$AM = AD - DM = 6 - 4 = 2$$

По подобию:

$$ME = k \cdot AM = \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3}$$

Следовательно:

$$BE = BM + ME = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике