Question

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 10)^2(x + 10) - 7$ на отрезке $[8; 18]$.

Accepted Answer

-7

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности на отрезке и вычислить значение в точке минимума. Вычислим производную: $$y' = 2(x - 10)(x + 10) + (x - 10)^2$$ Вынесем общий множитель $(x - 10)$: $$y' = (x - 10)[2(x + 10) + (x - 10)]$$ $$y' = (x - 10)(3x + 10)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x - 10)(3x + 10) = 0$$ Получаем критические точки: $x = 10$ и $x = -\frac{10}{3}$. На отрезке $[8; 18]$ находится только точка $x = 10$. Проанализируем знак производной методом интервалов: - при $x \in [8; 10)$: $(x - 10) < 0$ и $(3x + 10) > 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает; - при $x \in (10; 18]$: $(x - 10) > 0$ и $(3x + 10) > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает. Таким образом, $x = 10$ — точка локального минимума. На заданном отрезке наименьшее значение достигается в этой точке. Вычислим значение функции: $$y(10) = (10 - 10)^2(10 + 10) - 7 = 0 \cdot 20 - 7 = -7$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике