Question

а) Решите уравнение $1-\cos 2x+\sqrt{2}\sin\left( x-\pi \right)=\sqrt{2}-2\sin x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\pi;\frac{\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать исходное уравнение к произведению двух множителей, каждый из которых приравнять к нулю.

**а) Решение уравнения**

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$1-\cos 2x+\sqrt{2}\sin\left( x-\pi ight)-\sqrt{2}+2\sin x=0$$

Применим формулы: $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$ и $\sin(x-\pi) = -\sin x$:

$$1-\left( 1-2\sin^2 x ight)-\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}+2\sin x=0$$

Упростим:

$$2\sin^2 x-\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}+2\sin x=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2\sin x(\sin x+1)-\sqrt{2}(\sin x+1)=0$$

Вынесем общий множитель:

$$(\sin x+1)(2\sin x-\sqrt{2})=0$$

Отсюда получаем два случая:

$$\sin x=-1 \quad 	ext{или} \quad \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Для первого случая:

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Для второго случая:

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Используя тригонометрическую окружность, выберем корни, лежащие в $\left[ -\pi;\frac{\pi}{2} ight]$:

- Из семейства $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$: при $k=0$ получаем $x=-\frac{\pi}{2}$.

- Из семейства $x=\frac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=0$ получаем $x=\frac{\pi}{4}$.

- Из семейства $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k$: значение $\frac{3\pi}{4}$ не принадлежит отрезку (так как $\frac{3\pi}{4}>\frac{\pi}{2}$), при $k=-1$ получаем $\frac{3\pi}{4}-2\pi<-\pi$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике