Question

Решите неравенство:

$$\log_{2}(4x^{2}-1)-\log_{2}x\leq\log_{2}\left(5x+\frac{9}{x}-11\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифмов для приведения к рациональному неравенству, найти его решение и пересечь с областью допустимых значений.

Используя правила логарифмирования, преобразуем левую часть:

$$\log_{2}\frac{4x^{2}-1}{x}\leq\log_{2}\left(5x+\frac{9}{x}-11ight)$$

Так как логарифм — возрастающая функция, получаем:

$$\frac{4x^{2}-1}{x}\leq 5x+\frac{9}{x}-11$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{4x^{2}-1}{x}-5x-\frac{9}{x}+11\leq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4x^{2}-1-5x^{2}+11x-9}{x}\leq 0$$

$$\frac{-x^{2}+11x-10}{x}\leq 0$$

Умножим на $-1$ (знак неравенства меняется):

$$\frac{x^{2}-11x+10}{x}\geq 0$$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^{2}-11x+10=0$: $x=1$ и $x=10$.

$$\frac{(x-1)(x-10)}{x}\geq 0$$

Решение этого неравенства методом интервалов: $x\in(0;1]\cup[10;+\infty)$.

Теперь найдём область допустимых значений. Требуется:

$$\begin{cases}
4x^{2}-1>0 \
x>0 \
5x+\frac{9}{x}-11>0
\end{cases}$$

Из первого условия: $x^{2}>\frac{1}{4}$, откуда $x\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}ight)\cup\left(\frac{1}{2};+\inftyight)$.

Со вторым условием: $x>0$.

Объединяя: $x>\frac{1}{2}$.

Для третьего условия: $5x+\frac{9}{x}-11>0$, или $\frac{5x^{2}-11x+9}{x}>0$.

Дискриминант: $D=121-180=-59<0$. Числитель всегда положителен, поэтому условие выполнено при $x>0$.

Таким образом, область допустимых значений: $x>\frac{1}{2}$.

Пересекаем решение неравенства $(0;1]\cup[10;+\infty)$ с ограничением $x>\frac{1}{2}$:

$$\left(\frac{1}{2};1ight]\cup[10;+\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике