Question

Найдите все значения $a$, при которых уравнение
$$\left( x+\ln\left( x+a \right) \right)^{2}=\left( x-\ln\left( x+a \right) \right)^{2}$$
имеет единственное решение на отрезке $[0;1]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу разности квадратов, найти два корня уравнения и определить, при каких значениях параметра в отрезке $[0;1]$ остаётся ровно один из них. Перенесём всё в левую часть: $$\left( x+\ln\left( x+a \right) \right)^{2}-\left( x-\ln\left( x+a \right) \right)^{2}=0$$ Применим формулу $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$: $$\left( x+\ln\left( x+a \right) - x + \ln\left( x+a \right) \right) \left( x+\ln\left( x+a \right) + x - \ln\left( x+a \right) \right)=0$$ Упростим: $$2\ln\left( x+a \right) \cdot 2x = 0$$ Разделим на 4: $$\ln\left( x+a \right) \cdot x = 0$$ При условии $x+a > 0$ получаем два случая: **Случай 1:** $x = 0$ Подставим в условие $x + a > 0$: получаем $a > 0$. Таким образом, $x_1 = 0$ — корень при $a > 0$. **Случай 2:** $\ln(x+a) = 0$ Отсюда $x + a = 1$, то есть $x_2 = 1 - a$. Для того чтобы $x_2$ принадлежал отрезку $[0;1]$, требуется: - $1 - a + a > 0$ (условие $x + a > 0$), что даёт $1 > 0$ — верно для всех $a$; - $0 \le 1 - a \le 1$, откуда $0 \le a \le 1$. Итак, $x_2 = 1 - a$ — корень при $a \in [0;1]$. **Анализ единственности:** Корни совпадают при $0 = 1 - a$, то есть при $a = 1$. Из диаграммы видно: - При $a > 1$: корень $x_1 = 0$ есть, корня $x_2$ нет (так как $1 - a < 0$) — единственное решение. - При $a = 1$: оба корня совпадают в точке $x = 0$ — единственное решение. - При $0 < a < 1$: оба корня различны и лежат в $[0;1]$ — два решения. - При $a \le 0$: корня $x_1$ нет (условие $a > 0$ не выполнено), корня $x_2$ нет (условие $a \in [0;1]$ не выполнено) — нет решений. Единственное решение на $[0;1]$ достигается при $a \ge 1$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике