Question

Теплоход преодолевает 80 км по течению реки до конечного пункта, затем останавливается на 4 часа и возвращается в исходный пункт. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения составляет 2 км/ч, а общее время в пути (включая стоянку) равно 13 часам. Ответ выразите в км/ч.

Accepted Answer

18

Answer

Идея решения: обозначить собственную скорость теплохода переменной и составить уравнение на основе соотношения между временем в пути туда, обратно и стоянкой.

Обозначим собственную скорость теплохода как $x$ км/ч.

При движении по течению скорость составляет $x + 2$ км/ч, против течения — $x - 2$ км/ч.

Время в пути по течению:

$$t_1 = \frac{80}{x+2}$$

Время в пути против течения:

$$t_2 = \frac{80}{x-2}$$

Общее время складывается из времени движения туда, времени стоянки и времени движения обратно:

$$\frac{80}{x+2} + \frac{80}{x-2} + 4 = 13$$

Упростим:

$$\frac{80}{x+2} + \frac{80}{x-2} = 9$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{80(x-2) + 80(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 9$$

$$\frac{80x - 160 + 80x + 160}{x^2 - 4} = 9$$

$$\frac{160x}{x^2 - 4} = 9$$

$$160x = 9(x^2 - 4)$$

$$160x = 9x^2 - 36$$

$$9x^2 - 160x - 36 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 160^2 + 4 \cdot 9 \cdot 36 = 25600 + 1296 = 26896 = 164^2$$

$$x = \frac{160 \pm 164}{18}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{160 + 164}{18} = \frac{324}{18} = 18$$

$$x_2 = \frac{160 - 164}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, $x = 18$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике