Question

а) Решите уравнение $4\sin^3 x + 4\sqrt{3}\cos^2 x + 3\sin x = 4\sqrt{3}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: свести уравнение к произведению множителей через замену $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, затем решить квадратное уравнение относительно синуса.

**а) Решение уравнения**

Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$:

$$4\sin^3 x + 4\sqrt{3}(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 4\sqrt{3}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$4\sin^3 x + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\sin^2 x + 3\sin x = 4\sqrt{3}$$

$$4\sin^3 x - 4\sqrt{3}\sin^2 x + 3\sin x = 0$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x(4\sin^2 x - 4\sqrt{3}\sin x + 3) = 0$$

Отсюда получаем два случая.

**Случай 1:** $\sin x = 0$

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $4\sin^2 x - 4\sqrt{3}\sin x + 3 = 0$

Обозначим $t = \sin x$, где $t \in [-1; 1]$:

$$4t^2 - 4\sqrt{3}t + 3 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48 - 48 = 0$$

Уравнение имеет один корень:

$$t = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot 4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ принадлежит $[-1; 1]$, поэтому:

$$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi m = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$**

**Для $x = \pi n$:**

$$\pi \leq \pi n \leq \frac{5\pi}{2}$$

$$1 \leq n \leq 2{,}5$$

Целые значения: $n = 1, 2$.

Получаем: $x = \pi$ и $x = 2\pi$.

**Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:**

$$\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq \frac{5\pi}{2}$$

$$\frac{2\pi}{3} \leq 2\pi k \leq \frac{13\pi}{6}$$

$$\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{13}{12}$$

Целое значение: $k = 1$.

Получаем: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.

**Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$:**

$$\pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \leq \frac{5\pi}{2}$$

$$\frac{\pi}{3} \leq 2\pi m \leq \frac{11\pi}{6}$$

$$\frac{1}{6} \leq m \leq \frac{11}{12}$$

Целых значений нет.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике