Question

Решите неравенство $\log_2^2(25-x^2)-7\log_2(25-x^2)+12\geq0$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену для логарифма, решим квадратное неравенство, затем вернёмся к исходной переменной с учётом области определения.

Обозначим $t = \log_2(25-x^2)$.

Неравенство принимает вид:

$$t^2 - 7t + 12 \geq 0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена. По теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = 7, \quad t_1 \cdot t_2 = 12$$

Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Решение квадратного неравенства:

$$t \leq 3 	ext{ или } t \geq 4$$

Определим область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$25 - x^2 > 0$$

$$(5-x)(5+x) > 0$$

$$x \in (-5; 5)$$

Вернёмся к переменной $x$. Рассмотрим два случая.

**Случай 1:** $\log_2(25-x^2) \leq 3$

$$25 - x^2 \leq 2^3$$

$$25 - x^2 \leq 8$$

$$x^2 \geq 17$$

$$x \in (-\infty; -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}; +\infty)$$

**Случай 2:** $\log_2(25-x^2) \geq 4$

$$25 - x^2 \geq 2^4$$

$$25 - x^2 \geq 16$$

$$x^2 \leq 9$$

$$x \in [-3; 3]$$

Объединяя оба случая:

$$x \in ((-\infty; -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}; +\infty)) \cup [-3; 3]$$

Пересекаем с ограничением $x \in (-5; 5)$:

$$x \in (-5; -\sqrt{17}] \cup [-3; 3] \cup [\sqrt{17}; 5)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике