Question

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , где $O$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$ . Плоскости $(AOB)$ и $(BOC)$ являются прямоугольниками, причём стороны $AB$ и $CD$ — их меньшие стороны. Стороны $AB$ и $BC$ в 2 раза меньше соответствующих больших сторон этих сечений.

а) Докажите, что $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между прямой $CA_1$ и плоскостью $(BOC)$ .

а) Докажите, что $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между прямой $CA_1$ и плоскостью $(BOC)$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить связь между размерами основания и высотой параллелепипеда через условие прямоугольности сечений, затем использовать подобие треугольников для нахождения угла.

**а) Доказательство того, что $ABCD$ — квадрат**

Проведём через центр $O$ прямую $MN \parallel B_1C_1$. Тогда четырёхугольник $MNCB$ лежит в плоскости $(BOC)$. Аналогично, проведя прямую $KL \parallel A_1B_1$ через $O$, получаем четырёхугольник $AKLB$ в плоскости $(AOB)$.

Обозначим $AB = 2x$ и $BC = 2y$. Из условия, что $AB$ и $BC$ — меньшие стороны сечений, имеем:
$$BL = 4x, \quad BM = 4y$$

Кроме того:
$$A_1M = x, \quad B_1L = y$$

Рассмотрим треугольники $BMB_1$ и $BLB_1$. Применим теорему Пифагора для нахождения $BB_1$:

Из $	riangle BMB_1$:
$$BB_1^2 = BM^2 - B_1M^2 = 16y^2 - x^2$$

Из $	riangle BLB_1$:
$$BB_1^2 = BL^2 - B_1L^2 = 16x^2 - y^2$$

Приравняем оба выражения:
$$16y^2 - x^2 = 16x^2 - y^2$$

$$17y^2 = 17x^2$$

$$x = y$$

Следовательно, $AB = BC = 2x$, что означает $ABCD$ — квадрат.

**б) Нахождение угла между $CA_1$ и плоскостью $(BOC)$**

Продлим прямую $BM$ за точку $M$ и из точки $A_1$ опустим перпендикуляр $A_1H$ на эту прямую.

Поскольку $MN \parallel BC$, имеем $MN \perp A_1B_1$. Также $MN \perp BB_1$, так как $BB_1 \perp (A_1B_1C_1D_1)$. Таким образом, $MN$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $(ABB_1)$, откуда $MN \perp (ABB_1)$.

Следовательно:
$$A_1H \perp BM, \quad A_1H \perp MN$$

$$A_1H \perp (BOC)$$

Значит, $H$ — проекция $A_1$ на плоскость $(BOC)$, и искомый угол равен $\angle A_1CH$.

Из пункта а) при $y = x$:
$$BB_1^2 = 16x^2 - x^2 = 15x^2$$

$$BB_1 = x\sqrt{15}$$

Треугольники $A_1HM$ и $BB_1M$ подобны (по двум углам: $\angle A_1MH = \angle BMB_1$ — вертикальные, $\angle A_1HM = \angle BB_1M = 90°$).

Из подобия:
$$\frac{A_1H}{BB_1} = \frac{A_1M}{BM}$$

$$A_1H = \frac{BB_1 \cdot A_1M}{BM} = \frac{x\sqrt{15} \cdot x}{4x} = \frac{x\sqrt{15}}{4}$$

По формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда:
$$A_1C^2 = AA_1^2 + AD^2 + AB^2 = 15x^2 + 4x^2 + 4x^2 = 23x^2$$

$$A_1C = x\sqrt{23}$$

Из прямоугольного треугольника $A_1CH$:
$$\sin \angle A_1CH = \frac{A_1H}{A_1C} = \frac{\frac{x\sqrt{15}}{4}}{x\sqrt{23}} = \frac{\sqrt{15}}{4\sqrt{23}} = \frac{\sqrt{345}}{92}$$

$$\angle A_1CH = \arcsin \frac{\sqrt{345}}{92}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/xBoFhK2cHyIFOERYwcSounV5Cmihia1SUEdMMhU8.jpg)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике