Question

а) Решите уравнение $1-\cos 2x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}-2\sin\left( x+\pi \right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить уравнение, используя формулы двойного угла и синуса суммы, затем разложить на множители.

**а)** Применим формулы $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и $\sin(x + \pi) = -\sin x$:

$$1 - (1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} + 2\sin x$$

Упростим левую часть:

$$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} + 2\sin x$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2} - 2\sin x = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2\sin x(\sin x - 1) + \sqrt{2}(\sin x - 1) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(\sin x - 1)(2\sin x + \sqrt{2}) = 0$$

Получаем два случая:

$$\sin x = 1 \quad 	ext{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Из первого условия:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Из второго условия:

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad 	ext{или} \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} ight]$, используя тригонометрическую окружность.

Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k = -2$ получаем $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$ (не входит в отрезок); при $k = -1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (входит).

Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = -1$ получаем $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$ (входит); при $k = 0$ получаем $x = -\frac{\pi}{4}$ (не входит).

Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = -1$ получаем $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$ (входит); при $k = 0$ получаем $x = -\frac{3\pi}{4}$ (не входит).

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/PuMHkPiAPn0SrIfBuTDIekweYBSDYszLWVDk6Rg1.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике