Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств

$$\left\{ \begin{array}{c} 2a \leq x \ 6x > x^2 + a^2 \ x + a \leq 6 \end{array} ight.$$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4; 5]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: переписать систему в виде трёх условий на $a$ в зависимости от $x$, затем найти значения $a$, при которых эти условия совместны для некоторого $x \in [4; 5]$.

Переформулируем систему:

$$a \leq \frac{x}{2}$$

$$x^2 - 6x + a^2 < 0$$

$$a \leq 6 - x$$

Преобразуем второе неравенство, выделив полный квадрат:

$$x^2 - 6x + 9 + a^2 < 9$$

$$(x - 3)^2 + a^2 < 9$$

Это неравенство описывает внутренность круга радиуса 3 с центром в точке $(3; 0)$ на плоскости $(x, a)$.

Для каждого $x \in [4; 5]$ найдём диапазон допустимых значений $a$:

**Из условия (1):** $a \leq \frac{x}{2}$.

При $x = 4$: $a \leq 2$.
При $x = 5$: $a \leq 2{,}5$.

**Из условия (3):** $a \leq 6 - x$.

При $x = 4$: $a \leq 2$.
При $x = 5$: $a \leq 1$.

**Из условия (2):** $(x - 3)^2 + a^2 < 9$, откуда $a^2 < 9 - (x - 3)^2$.

При $x = 4$: $a^2 < 9 - 1 = 8$, то есть $-2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$.
При $x = 5$: $a^2 < 9 - 4 = 5$, то есть $-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$.

Граница допустимой области образуется линиями:
- $a = \frac{x}{2}$ (прямая 1);
- $a = 6 - x$ (прямая 3);
- $(x - 3)^2 + a^2 = 9$ (окружность 2).

Найдём точки пересечения граничных линий:

**Пересечение прямых (1) и (3):**

$$\frac{x}{2} = 6 - x \Rightarrow \frac{3x}{2} = 6 \Rightarrow x = 4$$

При $x = 4$: $a = 2$.

**На границе окружности при $x = 4$:**

$$(4 - 3)^2 + a^2 = 9 \Rightarrow 1 + a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 2\sqrt{2}$$

Из геометрии задачи (см. рисунок) видно, что допустимая область ограничена снизу окружностью. При $x = 4$ нижняя граница — это $a = -2\sqrt{2}$.

**На границе окружности при $x = 5$:**

$$(5 - 3)^2 + a^2 = 9 \Rightarrow 4 + a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm \sqrt{5}$$

Нижняя граница при $x = 5$: $a = -\sqrt{5}$.

Система имеет решение на $[4; 5]$ при значениях $a$, которые принадлежат допустимой области хотя бы для одного $x$ из этого отрезка.

Из анализа граничных точек и непрерывности области:

- При $x = 4$ допустимые значения: $-2\sqrt{2} \leq a \leq 2$.
- При $x = 5$ допустимые значения: $-\sqrt{5} \leq a \leq 1$.

Объединение этих интервалов даёт:

$$a \in [-2\sqrt{2}; 2]$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике