Question

Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 + 2x^2 + x - 7$ на отрезке $[-3; -0{,}5]$.

Accepted Answer

-7

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности на отрезке и вычислить значение в точке локального максимума.

Вычислим производную:

$$y' = 3x^2 + 4x + 1$$

Приравняем её к нулю:

$$3x^2 + 4x + 1 = 0$$

Решая квадратное уравнение, получаем $x = -\frac{1}{3}$ и $x = -1$.

Применим метод интервалов для анализа знака производной. Устанавливаем, что $x = -1$ — точка локального максимума, а $x = -\frac{1}{3}$ — точка локального минимума.

На отрезке $[-3; -0{,}5]$ функция возрастает на $[-3; -1]$ и убывает на $[-1; -0{,}5]$. Следовательно, наибольшее значение достигается в точке $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + (-1) - 7 = -1 + 2 - 1 - 7 = -7$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике