Question

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\frac{A+B}{2}$.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A+B}{2}$.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\frac{A+B}{2}$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: вычислить среднее всех чисел, затем для каждого пункта проанализировать соотношение между средними групп и общим средним.

Сначала найдём среднее арифметическое всех 30 чисел:

$$\frac{5 \cdot 10 + 4 \cdot 10 + 3 \cdot 10}{30} = \frac{120}{30} = 4$$

**а)** Рассмотрим разбиение: в первую группу поместим все десять пятёрок, во вторую — все десятки четвёрок и тройки.

Тогда:

$$A = \frac{5 \cdot 10}{10} = 5$$

$$B = \frac{3 \cdot 10 + 4 \cdot 10}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5$$

$$\frac{A+B}{2} = \frac{5 + 3{,}5}{2} = 4{,}25 > 4$$

Таким образом, среднее всех чисел (равное 4) меньше $\frac{A+B}{2}$.

**б)** Пусть $S_1$ — сумма чисел в первой группе, $S_2$ — сумма чисел во второй группе. При разбиении на две группы по 15 чисел каждая:

$$A = \frac{S_1}{15}, \quad B = \frac{S_2}{15}$$

$$\frac{A+B}{2} = \frac{\frac{S_1}{15} + \frac{S_2}{15}}{2} = \frac{S_1 + S_2}{30}$$

Поскольку $S_1 + S_2 = 120$ (сумма всех чисел), получаем:

$$\frac{A+B}{2} = \frac{120}{30} = 4$$

что равно среднему арифметическому всех чисел.

**в)** Обозначим количество троек в первой группе как $n_3$, четвёрок как $n_4$, пятёрок как $n_5$. Тогда $n_3 + n_4 + n_5 \geq 1$ (в группе хотя бы одно число).

Среднее первой группы:

$$A = \frac{3n_3 + 4n_4 + 5n_5}{n_3 + n_4 + n_5}$$

Для максимизации $\frac{A+B}{2}$ нужно максимизировать $A + B = A + \frac{120 - (3n_3 + 4n_4 + 5n_5)}{30 - (n_3 + n_4 + n_5)}$.

Если в первой группе одна пятёрка, а во второй — все остальные числа:

$$A = 5$$

$$B = \frac{10 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 9 \cdot 5}{29} = \frac{30 + 40 + 45}{29} = \frac{115}{29} = 3\frac{28}{29}$$

$$\frac{A+B}{2} = \frac{5 + 3\frac{28}{29}}{2} = \frac{\frac{145}{29} + \frac{115}{29}}{2} = \frac{260}{58} = \frac{130}{29} = 4\frac{14}{29}$$

Проверим, что это максимум: если количество троек в первой группе превышает количество пятёрок, то $A < 4$, и даже при $B = 5$ получим $\frac{A+B}{2} < 4\frac{14}{29}$.

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике