Question

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать равнобедренность треугольников, образованных серединой ребра и вершинами противоположного ребра, а затем применить свойство параллельности сторон сечения к рёбрам тетраэдра.

**а) Доказательство перпендикулярности**

Рассмотрим треугольник $ANB$. Поскольку тетраэдр правильный, все его рёбра равны. Обозначим длину ребра через $a$.

Точка $N$ — середина $CD$, поэтому расстояния от $N$ до вершин $A$ и $B$ одинаковы:

$$AN = BN = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$

Треугольник $ANB$ равнобедренный с основанием $AB$. Медиана $NM$ (где $M$ — середина $AB$) в равнобедренном треугольнике является также высотой, следовательно:

$$MN \perp AB$$

Аналогично, рассматривая треугольник $CMD$, где $M$ — середина $AB$, получаем:

$$CM = DM = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$

Медиана $MN$ этого равнобедренного треугольника перпендикулярна основанию $CD$:

$$MN \perp CD$$

**б) Вычисление площади сечения**

Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$, а прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны $MN$, то плоскость $\alpha$ параллельна обеим этим прямым.

Обозначим точки пересечения плоскости $\alpha$ с рёбрами $AC$, $AD$ и $BD$ через $L$, $P$ и $Q$ соответственно.

Четырёхугольник $KLPQ$ — сечение тетраэдра. Его стороны $KL$ и $PQ$ параллельны ребру $AB$, а стороны $KQ$ и $LP$ параллельны ребру $CD$. Поскольку $AB \perp CD$, четырёхугольник $KLPQ$ является прямоугольником.

Треугольник $KCL$ подобен треугольнику $BCA$ (по двум углам). Поскольку в правильном тетраэдре все грани — равносторонние треугольники, треугольник $KCL$ равносторонний. Следовательно:

$$KL = KC = 3$$

Аналогично, треугольник $KBQ$ равносторонний:

$$QK = BK = 1$$

Площадь прямоугольника $KLPQ$:

$$S = KL \cdot KQ = 3 \cdot 1 = 3$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике