Question

В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены биссектриса и медиана. Угол между ними составляет 14°. Определите меньший острый угол треугольника. Ответ выразите в градусах.

Прямоугольный треугольник с биссектрисой и медианой из прямого угла

![Прямоугольный треугольник с биссектрисой и медианой из прямого угла](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/B98MWbgUIYnAMqAPo8ju3yvCrxzbcEK9QMucH8M1.jpg)

Accepted Answer

31

Answer

Идея решения: использовать свойство медианы, проведённой из прямого угла, и геометрию углов между биссектрисой и медианой.

Обозначим прямой угол как $\angle C = 90°$, острые углы как $\angle A$ и $\angle B$, где $\angle A < \angle B$.

Биссектриса из вершины $C$ делит прямой угол пополам, образуя два угла по $45°$ каждый.

Найдём угол между медианой и большим катетом. Поскольку угол между биссектрисой и медианой равен $14°$, а биссектриса составляет $45°$ с каждым катетом, получаем:

$$\frac{90°}{2} - 14° = 31°$$

Медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это означает, что треугольник, образованный большим катетом, медианой и гипотенузой, является равнобедренным (две стороны равны половине гипотенузы).

В равнобедренном треугольнике углы при основании (гипотенузе) равны. Следовательно, угол при вершине $A$ (меньший острый угол исходного треугольника) равен $31°$.

Второй острый угол:

$$\angle B = 90° - 31° = 59°$$

Задание №1ПланиметрияЕГЭ по математике