Question

Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$.

Accepted Answer

1

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить, в какой из них функция достигает локального максимума. Вычислим производную: $$y' = 3x^2 - 12x + 9$$ Приравняем её к нулю: $$3x^2 - 12x + 9 = 0$$ Разделим на 3: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 3$$ Отсюда получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Проанализируем знак производной на интервалах. Разложим производную: $$y' = 3(x - 1)(x - 3)$$ - При $x < 1$: оба множителя отрицательны, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). - При $1 < x < 3$: первый множитель положителен, второй отрицателен, поэтому $y' < 0$ (функция убывает). - При $x > 3$: оба множителя положительны, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через $x = 1$, что указывает на локальный максимум.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике