Question

а) Решите уравнение $2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin(2\pi - x) + \sqrt{3}\sin 2x = \sqrt{6}\cos x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить исходное уравнение, применив формулы приведения и разложив на множители, затем решить два полученных уравнения.

**а) Решение уравнения**

Применим формулу приведения $\sin(2\pi - x) = -\sin x$:

$$2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + \sqrt{3}\sin 2x = \sqrt{6}\cos x$$

Подставим $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x = \sqrt{6}\cos x$$

Перенесём все в левую часть:

$$2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - \sqrt{6}\cos x = 0$$

Перепишем коэффициенты: $2 = (\sqrt{2})^2$ и $2\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$, $\sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$:

$$(\sqrt{2})^2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2})^2 \cos x \sin x - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}\cos x = 0$$

Вынесем общие множители:

$$\sqrt{2}\sin x(\sqrt{2}\sin x - 1) + \sqrt{3}\sqrt{2}\cos x(\sqrt{2}\sin x - 1) = 0$$

Разложим на множители:

$$(\sqrt{2}\sin x - 1)(\sqrt{2}\sin x + \sqrt{3}\sqrt{2}\cos x) = 0$$

**Первое уравнение:**

$$\sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$

$$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Второе уравнение:**

$$\sqrt{2}\sin x + \sqrt{3}\sqrt{2}\cos x = 0$$

Разделим на $\cos x$ (при $\cos x 
eq 0$):

$$\sqrt{2}	an x + \sqrt{6} = 0$$

$$	an x = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{3}$$

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}ight]$**

Используя тригонометрическую окружность (см. рисунок), определим, какие корни попадают в заданный отрезок:

- Из семейства $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{4}$ ✓

- Из семейства $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = -1$ получаем $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$ (не входит в отрезок); при $k = 0$ получаем $x = \frac{3\pi}{4}$ (не входит в отрезок)

- Из семейства $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$: при $k = 0$ получаем $x = -\frac{\pi}{3}$ ✓; при $k = -1$ получаем $x = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}$ (не входит в отрезок)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике