Question

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$.

б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку $[2\pi; 3{,}5\pi]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулы приведения и двойного угла, свести к квадратному уравнению относительно синуса.

**а)** Преобразуем исходное уравнение, используя формулы приведения и двойного угла:

$$\cos 2x + \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$$

Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$ и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$

Упростим:

$$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение относительно $\sin x$. Дискриминант:

$$D = 2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 2 + 16 = 18 = (3\sqrt{2})^2$$

Корни:

$$\sin x = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\sin x = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2} < -1$$

Второй корень не подходит, так как $\sin x \in [-1; 1]$.

Из условия $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ получаем:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни из промежутка $[2\pi; 3{,}5\pi]$.

Для семейства $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:

$$2\pi \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq 3{,}5\pi$$

$$\frac{7\pi}{4} \leq 2\pi n \leq \frac{13\pi}{4}$$

$$\frac{7}{8} \leq n \leq \frac{13}{8}$$

Единственное целое значение: $n = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$.

Для семейства $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

$$2\pi \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq 3{,}5\pi$$

$$\frac{5\pi}{4} \leq 2\pi k \leq \frac{11\pi}{4}$$

$$\frac{5}{8} \leq k \leq \frac{11}{8}$$

Единственное целое значение: $k = 1$, откуда $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике