Question

а) Решите уравнение $27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной для сведения показательного уравнения к квадратному. **а) Решение уравнения** Заметим, что $81 = 9^2$, поэтому $81^{\sin x} = (9^2)^{\sin x} = 9^{2\sin x}$. Введём замену $t = 9^{\sin x}$, где $t > 0$. Тогда $9^{2\sin x} = t^2$. Уравнение принимает вид: $$27t^2 - 12t + 1 = 0$$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $$D = 144 - 108 = 36$$ $$t = \frac{12 \pm 6}{54}$$ Получаем два корня: $$t_1 = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}, \quad t_2 = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}$$ **Случай 1:** $9^{\sin x} = \frac{1}{9}$ $$9^{\sin x} = 9^{-1}$$ $$\sin x = -1$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **Случай 2:** $9^{\sin x} = \frac{1}{3}$ $$3^{2\sin x} = 3^{-1}$$ $$2\sin x = -1$$ $$\sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad ext{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **б) Отбор корней на отрезке** $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi ight]$ Проверим каждое семейство решений. Из семейства $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$: - При $n = 0$: $x = \frac{3\pi}{2}$ — принадлежит отрезку. - При $n = 1$: $x = \frac{7\pi}{2} > 3\pi$ — не принадлежит. Из семейства $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$: - При $n = 0$: $x = \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ — не принадлежит. - При $n = 1$: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} > 3\pi$ — не принадлежит. Из семейства $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$: - При $n = 0$: $x = \frac{11\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ — не принадлежит. - При $n = 1$: $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{23\pi}{6}$. Проверим: $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, $3\pi = \frac{18\pi}{6}$. Имеем $\frac{9\pi}{6} < \frac{23\pi}{6}$, но $\frac{23\pi}{6} > \frac{18\pi}{6}$ — не принадлежит.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике