Question

Биссектрисы углов $\angle BAD$ и $\angle BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM = MO$ и $CN = NO$.

а) Докажите, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение $AM : MB$, если $AO = CO$ и $BC : AD = 17 : 31$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать равнобедренность треугольников, образованных условиями на расстояния, чтобы установить параллельность отрезков, а затем применить свойства трапеции и тригонометрию.

**а) Доказательство**

Поскольку $CN = NO$, треугольник $CNO$ равнобедренный, откуда $\angle OCN = \angle CON$.

Заметим, что $\angle CON = \angle BCO$ (как углы при биссектрисе). Следовательно, $ON \parallel BC$.

Аналогично, так как $AM = MO$, треугольник $AOM$ равнобедренный, поэтому $\angle MAO = \angle MOA$. Но $\angle MAO = \angle OAD$ (по определению биссектрисы), значит $\angle MOA = \angle OAD$, откуда $OM \parallel AD$.

Поскольку $OM \parallel AD$ и $ON \parallel BC$, а в равнобедренной трапеции основания параллельны, имеем $OM \parallel ON$ (оба параллельны основаниям). Однако оба отрезка проходят через точку $O$, поэтому они совпадают. Таким образом, $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой. ✓

**б) Нахождение отношения**

В равнобедренной трапеции сумма углов при боковой стороне равна $180°$:

$$\angle BAD + \angle BCD = 180°$$

Поскольку $AO$ и $CO$ — биссектрисы, получаем:

$$\angle OAD + \angle BCO = 90°$$

Проведём перпендикуляр $FK$ к основанию $AD$, проходящий через $O$.

Из условия $\angle OAD + \angle BCO = 90°$ следует:

$$\angle AOK = 90° - \angle OAK = \angle BCO$$

Прямоугольные треугольники $AOK$ и $FOC$ равны по гипотенузе и острому углу (где $F$ — проекция $C$ на прямую $FK$). Отсюда:

$$\frac{AM}{BM} = \frac{OK}{OF} = \frac{OK}{AK} = 	an \angle OAK$$

Обозначим $\angle OAK = \alpha$. Тогда $\angle BAD = 2\alpha$, и:

$$	an 2\alpha = 	an \angle BAD = 	an \angle CDA$$

Пусть $BC = 17x$ и $AD = 31x$. Опустим высоту $CH$ из $C$ на $AD$. Тогда:

$$DH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{31x - 17x}{2} = 7x$$

$$AH = AD - DH = 31x - 7x = 24x$$

Высота трапеции:

$$	an \angle CDA = \frac{CH}{DH} = \frac{24x}{7x} = \frac{24}{7}$$

Используя формулу двойного угла $	an 2\alpha = \frac{2	an \alpha}{1 - 	an^2 \alpha}$:

$$\frac{24}{7} = \frac{2	an \alpha}{1 - 	an^2 \alpha}$$

$$24(1 - 	an^2 \alpha) = 14	an \alpha$$

$$24 - 24	an^2 \alpha = 14	an \alpha$$

$$24	an^2 \alpha + 14	an \alpha - 24 = 0$$

$$12	an^2 \alpha + 7	an \alpha - 12 = 0$$

По формуле корней:

$$	an \alpha = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 576}}{24} = \frac{-7 \pm 25}{24}$$

Получаем $	an \alpha = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ или $	an \alpha = \frac{-32}{24} = -\frac{4}{3}$.

Поскольку $\alpha$ — острый угол, $	an \alpha > 0$, поэтому:

$$	an \angle OAK = \frac{3}{4}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике