Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \left( xy^{2}-3x-3y+9 ight)\sqrt{3-x}=0 \ y=ax \end{array} ight.$$

имеет ровно три различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить первое уравнение на множители, найти геометрическое место точек, удовлетворяющих системе, и определить, при каких наклонах прямой $y = ax$ она пересекает это множество ровно в трёх точках.

Преобразуем первое уравнение:

$$xy^{2}-3x-3y+9 = x(y^2 - 3) - 3(y - 3) = xy(y-3) - 3(y-3) = (y-3)(xy-3)$$

Первое уравнение принимает вид:

$$(y-3)(xy-3)\sqrt{3-x}=0$$

С учётом области определения $3 - x \geq 0$, то есть $x \leq 3$, получаем совокупность:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} y=3 \ xy=3 \ x=3 \end{array} ight. \ x\leq3 \end{array} ight.$$

Это даёт три кривые:
- горизонтальная прямая $y = 3$ при $x \leq 3$;
- гипербола $y = \frac{3}{x}$ при $x \leq 3$;
- вертикальная прямая $x = 3$ (точка $(3; y)$ для любого $y$).

Прямая $y = ax$ должна пересечь объединение этих трёх кривых ровно в трёх точках.

**Пересечение с $y = 3$:**

$$3 = ax \implies x = \frac{3}{a}$$

Точка лежит на отрезке при $\frac{3}{a} \leq 3$, то есть $a > 0$ или $a < 0$ (в зависимости от знака). Для $a > 0$ получаем точку $\left(\frac{3}{a}; 3ight)$.

**Пересечение с $y = \frac{3}{x}$:**

$$\frac{3}{x} = ax \implies ax^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{a}$$

При $a > 0$ имеем $x = \pm\sqrt{\frac{3}{a}}$. Условие $x \leq 3$ даёт две точки (если оба корня удовлетворяют).

**Пересечение с $x = 3$:**

$$y = 3a$$

Это даёт точку $(3; 3a)$.

Из графика видно, что ровно три решения достигаются в следующих случаях:

1) Прямая проходит через $(3; 1)$ (пересечение $x = 3$ и $y = \frac{3}{x}$):
$$1 = 3a \implies a = \frac{1}{3}$$

2) Прямая проходит через $(3; 3)$ (пересечение всех трёх кривых):
$$3 = 3a \implies a = 1$$

3) Прямая проходит через $(1; 3)$ (пересечение $y = 3$ и $y = \frac{3}{x}$):
$$3 = a \cdot 1 \implies a = 3$$

При этих значениях прямая $y = ax$ касается или проходит через критические точки так, что общее число пересечений равно трём.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике