Question

Найдите точку максимума функции $y = \ln(x+4)^2 + 2x + 7$.

Accepted Answer

-5

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проанализировать её знаки и определить абсциссу максимума. Область определения: $(x+4)^2 > 0$ выполняется при всех $x eq -4$. Вычислим производную: $$y' = \frac{d}{dx}\ln(x+4)^2 + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(7)$$ $$y' = \frac{1}{(x+4)^2} \cdot 2(x+4) + 2 = \frac{2(x+4)}{(x+4)^2} + 2 = \frac{2}{x+4} + 2$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{2}{x+4} + 2 = 0$$ $$\frac{2}{x+4} = -2$$ $$2 = -2(x+4)$$ $$2 = -2x - 8$$ $$2x = -10$$ $$x = -5$$ Исследуем знак производной на интервалах, разделённых точками $x = -5$ и $x = -4$ (точка разрыва): - При $x < -5$: выберем $x = -6$, тогда $y' = \frac{2}{-2} + 2 = -1 + 2 = 1 > 0$ (функция возрастает). - При $-5 < x < -4$: выберем $x = -4{,}5$, тогда $y' = \frac{2}{-0{,}5} + 2 = -4 + 2 = -2 < 0$ (функция убывает). - При $x > -4$: выберем $x = 0$, тогда $y' = \frac{2}{4} + 2 = 0{,}5 + 2 = 2{,}5 > 0$ (функция возрастает). Производная меняет знак с положительного на отрицательный при переходе через $x = -5$, что указывает на локальный максимум.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике