Question

Решите неравенство:

$$\frac{13-5\cdot 3^{x}}{9^{x}-12\cdot 3^{x}+27}\geq 0{,}5$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной $t = 3^x$, привести неравенство к рациональному виду и решить методом интервалов. Переписываем знаменатель через степени тройки: $$\frac{13-5\cdot 3^{x}}{3^{2x}-12\cdot 3^{x}+27}\geq 0{,}5$$ Вводим замену $t = 3^{x}$, где $t > 0$: $$\frac{13-5t}{t^{2}-12t+27}\geq \frac{1}{2}$$ Переносим правую часть влево: $$\frac{13-5t}{t^{2}-12t+27} - \frac{1}{2}\geq 0$$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{2(13-5t)-(t^{2}-12t+27)}{2(t^{2}-12t+27)}\geq 0$$ Упрощаем числитель: $$\frac{26-10t-t^{2}+12t-27}{2(t^{2}-12t+27)}\geq 0$$ $$\frac{-t^{2}+2t-1}{2(t^{2}-12t+27)}\geq 0$$ Раскладываем числитель: $$\frac{-(t^{2}-2t+1)}{2(t^{2}-12t+27)}\geq 0$$ $$\frac{-(t-1)^{2}}{2(t^{2}-12t+27)}\geq 0$$ Умножаем обе части на $-2$ (знак неравенства меняется): $$\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}-12t+27}\leq 0$$ Раскладываем знаменатель. Решаем $t^{2}-12t+27=0$ по теореме Виета: $t = 3$ и $t = 9$. $$\frac{(t-1)^{2}}{(t-3)(t-9)}\leq 0$$ Применяем метод интервалов. Числитель $(t-1)^{2}\geq 0$ для всех $t$, обращается в нуль при $t=1$. Знаменатель обращается в нуль при $t=3$ и $t=9$. Анализируя знаки на интервалах: - При $t < 1$: числитель положителен, знаменатель отрицателен → дробь отрицательна ✓ - При $t = 1$: дробь равна нулю ✓ - При $1 < t < 3$: числитель положителен, знаменатель отрицателен → дробь отрицательна ✓ - При $3 < t < 9$: числитель положителен, знаменатель положителен → дробь положительна ✗ - При $t > 9$: числитель положителен, знаменатель положителен → дробь положительна ✗ Получаем: $t \in (3; 9) \cup \{1\}$. Возвращаемся к переменной $x$. Так как $t = 3^{x}$: Из $t = 1$: $3^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$. Из $t \in (3; 9)$: $3 < 3^{x} < 9 \Rightarrow 3^{1} < 3^{x} < 3^{2} \Rightarrow 1 < x < 2$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике