Question

Вклад открывается на четыре года. Первоначальный размер — целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад возрастает на 10% от его величины в начале года. Дополнительно в начале третьего и четвёртого годов счёт пополняется на 3 млн рублей. Определите минимальный первоначальный вклад, обеспечивающий превышение 20 млн рублей по истечении четырёх лет.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: проследить рост вклада год за годом с учётом пополнений и найти наименьшее целое значение начального взноса, при котором итоговая сумма превысит 20 млн рублей.

Обозначим первоначальный вклад через $S$ млн рублей (целое число). Коэффициент роста за год составляет $k = 1{,}1$.

Проследим изменение вклада:

**После 1-го года:**
$$S 	o 1{,}1S$$

**После 2-го года:**
$$1{,}1S 	o 1{,}1 \cdot 1{,}1S = 1{,}21S$$

**В начале 3-го года** добавляется 3 млн, затем в конце года происходит рост:
$$1{,}21S + 3 	o 1{,}1(1{,}21S + 3) = 1{,}331S + 3{,}3$$

**В начале 4-го года** добавляется ещё 3 млн, затем в конце года происходит рост:
$$1{,}331S + 3{,}3 + 3 	o 1{,}1(1{,}331S + 6{,}3) = 1{,}4641S + 6{,}93$$

По условию требуется:
$$1{,}4641S + 6{,}93 > 20$$

$$1{,}4641S > 13{,}07$$

$$S > \frac{13{,}07}{1{,}4641} = \frac{130700}{14641} \approx 8{,}92$$

Поскольку $S$ — целое число, наименьшее подходящее значение:
$$S = 9$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике