Question

Решите неравенство $3^x + \frac{243}{3^x - 36} \geq 0$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену переменной, приведём к рациональному неравенству, разложим числитель на множители и применим метод интервалов. Обозначим $t = 3^x$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$t + \frac{243}{t - 36} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 36) + 243}{t - 36} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 36t + 243}{t - 36} \geq 0$$ Разложим числитель на множители. Найдём корни уравнения $t^2 - 36t + 243 = 0$: $$t = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 972}}{2} = \frac{36 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{36 \pm 18}{2}$$ Получаем $t = 27$ и $t = 9$. Таким образом: $$\frac{(t - 9)(t - 27)}{t - 36} \geq 0$$ Применим метод интервалов. Критические точки: $t = 9$, $t = 27$, $t = 36$ (точка разрыва). На интервалах знаки выражения: - при $t < 9$: $\frac{(-)(-) }{(-)} = \frac{(+)}{(-)} < 0$; - при $9 < t < 27$: $\frac{(+)(-)}{(-)} = \frac{(-)}{(-)} > 0$; - при $27 < t < 36$: $\frac{(+)(+)}{(-)} = \frac{(+)}{(-)} < 0$; - при $t > 36$: $\frac{(+)(+)}{(+)} = \frac{(+)}{(+)} > 0$. Учитывая граничные точки и условие $t > 0$, решение неравенства относительно $t$: $$t \in [9; 27] \cup (36; +\infty)$$ Вернёмся к исходной переменной $x$: $$3^x \in [9; 27] \cup (36; +\infty)$$ $$3^x \in [3^2; 3^3] \cup (36; +\infty)$$ Из первого интервала: $3^2 \leq 3^x \leq 3^3$, откуда $2 \leq x \leq 3$. Из второго интервала: $3^x > 36$, откуда $x > \log_3 36$. $$x \in [2; 3] \cup (\log_3 36; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике