Question

а) Решите уравнение $\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулы для синуса и косинуса отрицательного аргумента, затем разложить полученное выражение на множители.

**а) Решение уравнения**

Используя свойства чётности и нечётности тригонометрических функций:

$$\sin 2x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$$

Раскроем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$2\sin x \cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2\sin x(\cos x - 1) + 1(\cos x - 1) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(2\sin x + 1)(\cos x - 1) = 0$$

Получаем два случая:

$$2\sin x + 1 = 0 \quad 	ext{или} \quad \cos x - 1 = 0$$

Из первого уравнения: $\sin x = -\frac{1}{2}$, откуда

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Из второго уравнения: $\cos x = 1$, откуда

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Найдём корни, принадлежащие $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}ight]$.

Для семейства $x = 2\pi n$:
- При $n = 1$: $x = 2\pi$ ✓ (входит в отрезок)

Для семейства $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$:
- При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$ (не входит, так как $\frac{11\pi}{6} < 2\pi$)
- При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$ ✓ (входит, так как $2\pi = \frac{12\pi}{6} < \frac{23\pi}{6} < \frac{21\pi}{6} = \frac{7\pi}{2}$)

Для семейства $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$:
- При $n = 1$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$ (не входит)
- При $n = 2$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$ ✓ (входит, так как $2\pi = \frac{12\pi}{6} < \frac{19\pi}{6} < \frac{21\pi}{6} = \frac{7\pi}{2}$)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/kR7tp343bbi5S3h1NqKLFWjBbrW0wN9Ut3oBOWxj.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике