Question

Решите неравенство:

$$2\log_{2}(x\sqrt{5})-\log_{2}\left(\frac{x}{1-x}\right)\leq\log_{2}\left(5x^{2}+\frac{1}{x}-2\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифмов для упрощения неравенства, найти область допустимых значений и решить полученное алгебраическое неравенство методом интервалов.

Преобразуем левую часть, используя свойства логарифмов:

$$\log_{2}(x\sqrt{5})^{2}-\log_{2}\left(\frac{x}{1-x}ight)\leq\log_{2}\left(5x^{2}+\frac{1}{x}-2ight)$$

$$\log_{2}\frac{5x^{2}(1-x)}{x}\leq\log_{2}\left(5x^{2}+\frac{1}{x}-2ight)$$

Поскольку основание логарифма больше 1, неравенство между логарифмами равносильно неравенству между аргументами:

$$\frac{5x^{2}(1-x)}{x}\leq 5x^{2}+\frac{1}{x}-2$$

Найдём область допустимых значений:

$$\begin{cases}
x\sqrt{5}>0 \
\frac{x}{1-x}>0 \
5x^{2}+\frac{1}{x}-2>0
\end{cases}$$

Из первых двух условий получаем $x \in (0;1)$.

Умножим обе части неравенства на $x > 0$ (знак не меняется):

$$5x^{2}(1-x)\leq 5x^{3}-2x+1$$

$$5x^{2}-5x^{3}\leq 5x^{3}-2x+1$$

$$10x^{3}-5x^{2}-2x+1\geq 0$$

Разложим левую часть на множители:

$$5x^{2}(2x-1)-(2x-1)\geq 0$$

$$(2x-1)(5x^{2}-1)\geq 0$$

Найдём нули:

$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$$

$$5x^{2}-1=0 \Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Решение неравенства $(2x-1)(5x^{2}-1)\geq 0$:

$$x\in\left[-\frac{1}{\sqrt{5}};\frac{1}{\sqrt{5}}ight]\cup\left[\frac{1}{2};+\inftyight)$$

Пересечём с областью допустимых значений $x \in (0;1)$:

$$x\in\left(0;\frac{1}{\sqrt{5}}ight]\cup\left[\frac{1}{2};1ight)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике