Question

а) Решите уравнение:

$$\sin x + 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскроем синус суммы, упростим уравнение до произведения и найдём корни через разложение на множители.

а) Применим формулу синуса суммы к левой части:

$$\sin x + 2\left(\sin 2x \cdot \cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x \cdot \sin\frac{\pi}{6}ight) = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$

Подставим значения $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$$\sin x + 2\left(\sin 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 2x \cdot \frac{1}{2}ight) = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$

$$\sin x + \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3}\sin 2x + 1$$

Сократим $\sqrt{3}\sin 2x$ с обеих сторон:

$$\sin x + \cos 2x = 1$$

Используя $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1$$

$$\sin x - 2\sin^2 x = 0$$

$$\sin x(1 - 2\sin x) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

$$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$\sin x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, & n \in \mathbb{Z} \ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, & n \in \mathbb{Z} \end{cases}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\piight]$ с помощью тригонометрической окружности.

Для семейства $x = \pi n$: в интервал попадают $x = -2\pi$ и $x = -3\pi$.

Для семейства $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -2$ получаем $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$ (вне интервала); при $n = -1$ получаем $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$ (вне интервала).

Для семейства $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -2$ получаем $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$ (в интервале); при $n = -1$ получаем $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$ (вне интервала).

Задание №13УравненияЕГЭ по математике