Question

Для получения увеличенного изображения лампочки в лаборатории применяется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки варьируется в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Чёткое изображение на экране возникает при условии:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$

На каком наименьшем расстоянии от линзы следует расположить лампочку, чтобы её изображение было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$$

На каком наименьшем расстоянии от линзы следует расположить лампочку, чтобы её изображение было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Accepted Answer

36

Answer

Идея решения: выразить $d_1$ через $d_2$ из условия линзы и найти его минимум, выбрав оптимальное значение $d_2$.

Подставим $f = 30$ см в соотношение и выразим $d_1$:

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{30}$$

$$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}$$

Чтобы минимизировать $d_1$, нужно максимизировать правую часть. Поскольку вычитаемое $\frac{1}{d_2}$ уменьшается с ростом $d_2$, правая часть достигает наибольшего значения при максимальном $d_2 = 180$ см:

$$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{180}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{d_1} = \frac{6}{180} - \frac{1}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}$$

Следовательно:

$$d_1 = 36$$ см

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике