Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \left( xy - 2x + 12 ight) \cdot \sqrt{y - 2x + 12} = 0 \ y = 3x + a \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскрыть произведение под корнем через совокупность, подставить линейное соотношение и найти значения параметра, при которых получается ровно два решения.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} xy - 2x + 12 = 0 \ y - 2x + 12 = 0 \end{array} ight. \ y = 3x + a \ y - 2x + 12 \geq 0 \end{array} ight.$$

Переформулируем первые два уравнения совокупности:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} xy = 2x - 12 \ y = 2x - 12 \end{array} ight. \ y = 3x + a \ y \geq 2x - 12 \end{array} ight.$$

Из первого уравнения совокупности при $x 
eq 0$ получаем:

$$y = 2 - \frac{12}{x}$$

Рассмотрим три случая.

**Случай 1.** Пересечение кривой $y = 2 - \frac{12}{x}$ с прямой $y = 3x + a$.

Подставляем:

$$3x + a = 2 - \frac{12}{x}$$

Умножаем на $x$ (при $x 
eq 0$):

$$3x^2 + ax = 2x - 12$$

$$3x^2 + (a - 2)x + 12 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (a - 2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = a^2 - 4a + 4 - 144 = a^2 - 4a - 140$$

Для ровно одного решения в этом случае требуется $D = 0$:

$$a^2 - 4a - 140 = 0$$

$$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 560}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{4 \pm 24}{2}$$

$$a_1 = -10, \quad a_2 = 14$$

**Случай 2.** Пересечение прямой $y = 2x - 12$ с прямой $y = 3x + a$.

Приравниваем:

$$2x - 12 = 3x + a$$

$$x = -12 - a$$

Соответствующее значение $y$:

$$y = 2(-12 - a) - 12 = -24 - 2a - 12 = -36 - 2a$$

Проверяем условие $y \geq 2x - 12$:

$$-36 - 2a \geq 2(-12 - a) - 12$$

$$-36 - 2a \geq -24 - 2a - 12$$

$$-36 - 2a \geq -36 - 2a$$

Условие выполнено для всех $a$.

**Анализ количества решений.**

При $a = -10$ или $a = 14$ уравнение $3x^2 + (a - 2)x + 12 = 0$ имеет ровно одно решение (двойной корень). Вместе с решением из случая 2 получаем ровно два решения системы.

При других значениях $a$ уравнение из случая 1 имеет либо два различных решения, либо ни одного, что приводит к трём или одному решению системы в целом.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике