Question

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 120°$, $\angle BCA = 45°$.

а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_1H$, если $BC = 6\sqrt{3}$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: показать, что четырёхугольник $A_1C_1B_1H$ образует равнобедренную трапецию, которая вписана в окружность.

**а) Доказательство**

Поскольку $C_1$ и $B_1$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, отрезок $C_1B_1$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно:

$$C_1B_1 \parallel BC$$

Это означает, что $C_1B_1 \parallel A_1H$ (так как $A_1$ лежит на $BC$, а $H$ лежит на прямой, содержащей высоту из $A$).

Аналогично, $C_1A_1$ — средняя линия треугольника $ABC$, поэтому:

$$C_1A_1 = \frac{1}{2}AC$$

В прямоугольном треугольнике $AHC$ (прямой угол при $H$) отрезок $HB_1$ является медианой, проведённой к гипотенузе $AC$. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике:

$$HB_1 = \frac{1}{2}AC$$

Таким образом, $C_1A_1 = HB_1$. Вместе с условием $C_1B_1 \parallel A_1H$ это означает, что четырёхугольник $A_1C_1B_1H$ — равнобедренная трапеция. Равнобедренная трапеция всегда вписана в окружность, что и требовалось доказать.

**б) Нахождение $A_1H$**

Средняя линия $B_1C_1$ треугольника $ABC$ равна:

$$B_1C_1 = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$

Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, поэтому углы совпадают: $\angle B_1A_1C_1 = \angle BAC = 120°$.

Применим теорему синусов к треугольнику $A_1B_1C_1$:

$$\frac{B_1C_1}{\sin \angle A_1} = 2R$$

где $R$ — радиус описанной окружности. Найдём $\sin 120°$:

$$\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда:

$$R = \frac{B_1C_1}{2 \sin 120°} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$$

Найдём углы треугольника $ABC$. Известно, что $\angle BAC = 120°$ и $\angle BCA = 45°$, поэтому:

$$\angle ABC = 180° - 120° - 45° = 15°$$

В треугольнике $A_1C_1H$ найдём угол $\angle A_1C_1H$. Заметим, что $\angle HA_1C_1 = 180° - 120° = 60°$ (так как $H$ лежит на высоте из $A$, и углы дополняют друг друга), а $\angle AC_1H = 15°$ (угол при $C_1$ в треугольнике $ABC$). Тогда:

$$\angle A_1C_1H = 180° - 60° - 15° = 105°$$

Применим теорему синусов к треугольнику $A_1C_1H$:

$$\frac{A_1H}{\sin \angle A_1C_1H} = 2R$$

$$A_1H = 2R \sin \angle A_1C_1H = 2 \cdot 3 \cdot \sin 105°$$

Заметим, что $\sin 105° = \sin 75° = \sin(45° + 30°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. Однако, пересчитав через дополнительный угол: $\angle A_1C_1H = 180° - 105° = 75°$, получаем $\sin 75° = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Проверим иначе: угол $\angle HA_1C_1 = 135°$, $\angle AC_1H = 15°$, тогда $\angle A_1C_1H = 180° - 135° - 15° = 30°$.

$$A_1H = 2R \sin 30° = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике