Question

В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия счёта:
- 1 июля 2026 года Андрей вносит на счёт 488 000 рублей;
- 30 июня каждого года сумма на счёте увеличивается на 25 % относительно суммы на 29 июня;
- 1 июля 2027, 2028, 2029 годов Андрей снимает одну и ту же фиксированную сумму;
- 1 июля 2029 года счёт должен быть полностью пуст.

Найдите размер ежегодного снятия.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: отследить баланс счёта через три года, применив формулу сложных процентов с ежегодными снятиями, и приравнять финальный остаток к нулю.

Обозначим:
- $S = 488\,000$ рублей — начальный вклад;
- $r = 25\%$ — годовая ставка;
- $k = 1 + \frac{r}{100} = 1{,}25$ — коэффициент увеличения;
- $x$ — размер ежегодного снятия.

Проследим изменение баланса по годам:

| Год | После начисления процентов | После снятия |
|-----|---------------------------|--------------|
| 1 | $Sk$ | $Sk - x$ |
| 2 | $(Sk - x)k$ | $(Sk - x)k - x$ |
| 3 | $((Sk - x)k - x)k$ | $((Sk - x)k - x)k - x$ |

Раскроем скобки для третьего года:

$$((Sk - x)k - x)k - x = Sk^3 - xk^2 - xk - x$$

По условию после третьего снятия на счёте остаётся нуль:

$$Sk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$Sk^3 - x(k^2 + k + 1) = 0$$

Отсюда:

$$x = \frac{Sk^3}{k^2 + k + 1}$$

Подставим числовые значения. Вычислим $k^3$ и знаменатель:

$$k^3 = 1{,}25^3 = \frac{125}{64} = 1{,}953125$$

$$k^2 + k + 1 = 1{,}5625 + 1{,}25 + 1 = 3{,}8125 = \frac{61}{16}$$

Тогда:

$$x = \frac{488\,000 \cdot 1{,}953125}{3{,}8125} = \frac{488\,000 \cdot \frac{125}{64}}{\frac{61}{16}} = \frac{488\,000 \cdot 125 \cdot 16}{64 \cdot 61}$$

$$x = \frac{488\,000 \cdot 125}{4 \cdot 61} = \frac{61\,000\,000}{244} = 250\,000$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике