Question

Решите неравенство $\log_{8}(x^{3}-3x^{2}+3x-1) \geq \log_{2}(x^{2}-1)-5$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать логарифмы к одному основанию, упростить аргумент левой части через формулу куба разности, затем решить полученное неравенство с учётом области определения. Заметим, что $x^{3}-3x^{2}+3x-1 = (x-1)^{3}$. Перепишем исходное неравенство, переходя к основанию 2: $$\log_{2^{3}}(x-1)^{3} \geq \log_{2}(x^{2}-1) - \log_{2}2^{5}$$ Применим свойство логарифма степени: $$\frac{1}{3} \cdot 3\log_{2}(x-1) + \log_{2}2^{5} \geq \log_{2}(x^{2}-1)$$ $$\log_{2}(x-1) + \log_{2}32 \geq \log_{2}(x^{2}-1)$$ $$\log_{2}(32(x-1)) \geq \log_{2}(x^{2}-1)$$ Определим область допустимых значений. Требуется: - $(x-1)^{3} > 0 \Rightarrow x > 1$ - $x^{2}-1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0 \Rightarrow x > 1$ или $x < -1$ Пересечение даёт $x > 1$. Поскольку основание логарифма больше 1, знак неравенства сохраняется: $$32(x-1) \geq x^{2}-1$$ $$32(x-1) \geq (x-1)(x+1)$$ $$32(x-1) - (x-1)(x+1) \geq 0$$ $$(x-1)(32 - x - 1) \geq 0$$ $$(x-1)(31-x) \geq 0$$ Решение этого неравенства: $1 \leq x \leq 31$. Пересекая с условием $x > 1$, получаем $1 < x \leq 31$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике